反证法教学设计一等奖

24.2.1（第二课时）

《反证法》教案

赵县石塔中学

赵丽辉

【知识与技能】

1.通过实例，体会反证法的含义。

2.了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法。

【过程与方法】

1.结合教科书的问题，引出反证法，学生初步认识体会反证法，然后运用反证法证明，进一步体会和理解反证法。

2.利用反证法解决数学问题，并提炼出相关的数学知识，从而渗透逻辑思维等数学思想。

【情感、态度与价值观】

1.利用现实生活和教学中的反证法素材和具有挑战性的情景，激发学生求知探索的欲望。

2.通过本节知识的学习，体验反证法解题的一般过程，感知数学的魅力，从而更加热爱生活，激发学习数学的兴趣。

【重点】

运用反证法进行推理论证。

【难点】

反证法的证明思路。

【课前准备】

三角板

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【教学过程】

（一）复习巩固 教师多媒体展示：

过已知点A可以作______圆； 过已知点A、B可以作_____圆,圆心在_____；

不在同一条直线上的三个点能确定 _____ 圆。 （二）探究新知

教师提出问题，引导学生合作交流，归纳总结，进一步认识反证法。

思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

用反证法的证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆． 证明：如图，假设过同一条直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段 的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2的 点，而l1Pl2

ABCL1⊥L，L2⊥L，这与我们以前所学的“过一点有且只有 条直线与已知直线 ”矛盾．所以，过同一条直线上的三点不能作圆．

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一条直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做 ．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

用反证法证明一个命题的过程：

1.先假设命题不成立，它的反面成立。

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2.从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，从而得出假设命题不成立。

3.即所求证的命题成立。

你能说出下列结论的反面吗? 学生小组合作

（三）运用新知

1.相信自己行，你就行！

用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°

已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角

求证：

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度

证明：若∠A

、∠B、∠C分别是ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60 °

假设所求证的结论不成立，即

∠Ａ＿＿60°，

∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°

则

∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ

＜180°

这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾，

所以假设命题＿＿＿＿＿＿，

所以，所求证的结论成立．

2.延伸拓展

你能用反证法证明以下命题吗？

如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角. - 3 -

证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 当∠B是_____时，则_____________ 这与____________________________矛盾

当∠B是_____时，则______________ 这与____________________________矛盾

综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角

3.试一试

已知：如图，直线a,b被直线c所截，

∠1 ≠ ∠2

求证:a不平行于b. 证明：假设结论不成立，则a∥b

∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)

这与已知的∠1≠∠2矛盾

∴假设不成立

∴a不平行于b 2.求证:两直线平行，同位角相等. 已知：

直线AB ∥CD 求证：

∠1=∠2

证明：

假设∠1 ≠

∠2. 过O做直线A'B'使∠EOB'=∠2, 根据同位角相等，两直线平行，可得AB ∥CD, C F A 2 E 1 A'

B B'

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这样过点O就有两条直线AB,A'B'都平行于CD, 这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾, 所以假设∠1 ≠

∠2不正确, 从而∠1=∠2正确. （四）合作学习

组织学生练习，教师巡回辅导，对重点问题进行强化，点拨方法，总结规律，对共性问题做好补教。

求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 已知：直线l1、l2 、l3在同一平面内，且l2∥ l1 ，l3∥l1。

求证：l2∥l3

学生独立完成练习后，集体交流评价。写出解答过程，形成规律，获得成功体验。

（五）归纳交流: 证明真命题的方法：直接证法和间接证法---反证法

1.反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：

(1)

命题的结论是否定型的

(2)

命题的结论是无限型的；

(3)

命题的结论是“至多”或“至少”型的

2.反证法是证明问题的一种方法。反证法证明的一般步骤：首先假设 不成立，然后进行 ，得出与所设相矛盾，或与已知矛盾，或与学过的定义、定理、公理等相矛盾。最后得出结论， 成立。

（六）课题小结

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1. 反证法的概念与应用

2. 反证法解题一般过程

（七）课后作业

课外活动:收集反证法在生活中应用的例子，

(八)教学反思

学生只有亲身经历了。知识的发生与发展，才能很好地总结升华，才可以交体会，汇总成理论，将理论应用于实践，将问题设计有代表性的。有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然又主动，又积极，在课堂小结时才能真正的有收获。

总结应用反证法证明数学命题的一般步骤：一、分清命题的条件和结论。二、做出与命题结论相矛盾的假设。三、从假设出发，演绎推理的方法，推出矛盾的结果。四、断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不正确，于是原来结论是真命题。

虽然使用了多媒体教学，大部分学生运用没有到位，内容还是有点儿多，时间比较紧凑。

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