2.2.1 椭圆的标准方程教案评析

2.2.1椭圆及其标准方程

学习目标：

1、掌握椭圆的定义及其标准方程

；

2、会根据条件写出椭圆的标准方程

。

情感目标：

1、培养学生运动、变化的观点，训练自己的动手能力；

2、通过小组合作，培养协作，友爱的精神。

学习重点：

掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

学习难点：

椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。

教学过程

（一）创设情景，引入新课

问题1：2003年10月15日，中国“神州5号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦。请问：“神州5号”飞船绕着什么飞行？运行的轨迹是什么？

问题2：同学们能不能举出一些有关椭圆的实例？

（人造卫星运行轨道，立体几何中圆的直观图，油罐车的横截面…）

1、画椭圆

（1）取一条细绳

（2）把它的两端固定在板上的两点F1和F2

（3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形什么？

1

M

F1

F2

从上面画图的过程中，我们可以看出：不论动点M运动到什么地方，它到两个定点F1和F2的距离的和，总是等于一个定长（绳长）。

即 |M F1|+|M F2|=定长（绳长）

（二）新课讲解

1、椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于同一常数（常数>| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆焦距。

|MF1|+|MF2|=常数（绳长）

Y M 如果这个常数小于或等于|F1F2|呢？

当常数>|F1F2|, 轨迹是椭圆;

当常数=|F1F2|,轨迹是线段；

当常数<|F1F2|,轨迹不存在，因为三角形任意两边之和大于第三边。

F1

0

F2

X

2、求椭圆的方程

求曲线方程的步骤有哪些？

求曲线方程的步骤——建系、设点、列式、化简

如何建系,使求出的方程最简洁呢? y

M

F1

O F2

x

方案一

y F2

M O F1

x (对称、“简洁”)

2 方案二

选定方案一: (1)建系

如图所示,F1,F2所在的直线为x轴,以线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系。

设点

设M( x , y )是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c,那么,焦点F1

, F2

的坐标分别是( -c,0) ,( c,0)。又设M与F1, F2的距离的和等于常数2a。

(2)列式 |MF1|+|MF2|=2a (3)代换 MF1y M (xc)2y MF2(xc)2y

0 所以，

（4)化简 移项得

(xc)2y2(xc)2y22aF1

F2

x

(xc)2y22a(xc)2y2两边平方，得

xc2y24a24axc2y2xc2y2整理得a(xc)2ya2cx

两边再平方得，a2[(xc)2y]a42a2cxc2x2 整理得，(a2 – c2)x2+a2y2= a2(a2 – c2)

由椭圆的定义可知，2a>2c,即a>c，所以a2

– c2>0 令a2

– c2= b2,其中b>0,代入上式，得

：

b2x2+a2y2= a2b2

两边同除以a2b2得

x2y22221(ab0,cab)a2b2y M

2xy2F

1

1 ab0 叫做椭圆的标准方程。

22ab

o

F

2

x

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1

(-c,0), F2 (c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中

a2b2c2如图，你能从中找出表示a，b，C的线段吗

yP |PF1||PF2|a,|OF1||OF2|c,|PO|b3 F1OF2x

4、练习

判断下列椭圆的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距．

x2y2(1)110064x2y2(2)1925(3)2xy822(1)a=10,b=8,c=6,焦点在x轴，焦点(-6，0)、(6，0)，焦距为12；

(2)a=5,b=3,c=4, 焦点在y轴，焦点(0，-4)、(0，4)，焦距为8．

(3)a=

8,b=2，c=2,焦点在y轴，焦点(0，-2)、(0，2)，焦距为4．

x2y21　　椭圆 上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点10036F2的距离是 ______．

（三）例题讲解

53例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过（ , - )，22求它的标准方程。

解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为

x2y21 ab0

a2b2由椭圆的定义知

2a(52)2(3)2(52)2(3)22102222a 10所以

。

又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6。

因此，所求的椭圆的标准方程为

解法二

x2y21 106x2y221 ab02设椭圆的标准方程为

ab又由已知得c=2，所以a2 - b2 =4。①

5232()()又由已知得， ②

221 a2b2联立①、②解方程组得，a

210,b26因此，所求椭圆的标准方程为

x2y21 1065

M

练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；

(2)a=4，c=15，焦点在y轴上；

(3)经过点P(-2,0)和Q(0,-3). (4)a+b=10，c=25

（四）课堂小结

1、椭圆的定义及焦点，焦距的概念；

2、椭圆的标准方程

x2y2(1)焦点在x轴：

1 ab0a2b2y2x2(2)焦点在y轴：

21 ab02ab3、椭圆标准方程中的a,b,c的关系：a2=b2

+

c2

4、如何由椭圆的标准方程判断焦点的位置：

看标准方程中x2,y2的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。 5、求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置, 然后确定标准方程的类型，最后求出 a,b 。

（五）作业

课本习题２.２Ａ组第２题

（六）板书设计

1、椭圆的定义 3、例题讲解

2、椭圆标准方程推导 4、练习

（1）建系 5、小结，作业布置

（2）设点

（3）列式

（4）化简

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