5.1 任意角及其度量优秀教学设计

《任意角的三角比》教学设计

一、教学目标分析

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合经验. 3．利用单位圆中的有向线段表示任意角的正弦、余弦、正切函数值, 4．树立通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 培养求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点难点分析

重点：任意角的正弦、余弦、正切比的定义. 难点：用有向线段表示三角比的值. 三、教法、学法和教学手段分析

1．教法选择：设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展. 2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程. 3．教学手段：多媒体教室中学生利用几何画板软件、实物展台等设备探讨数学问题，做数学实验;

借助电子白板做好PPT和板书互动实验.

四、教学过程

（一）情景引入

数学教授的诗句引入：东升西落照苍穹，影短影长角不同.

昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣. 日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？

周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：圆周上一点的旋转运动.请看下面实例.

（二）问题驱动

问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？

问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为090,试着写出h和的关系式. 问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗

？

三个问题层层递进，从锐角拓展到任意角，具有生活具体意义，同时也引出课题. 创设问题情境，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生的思维引上自主探索、交流的再创造过程. （三）探究推广

探究1：如何将锐角三角形放入到平面直角坐标系中？

通过复习锐角三角比的定义，温故知新；学生从中体会知识的产生、发展过程是由心有认知状况开始的. 探究2：在直角坐标系中如何表示锐角三角比？

建构中间桥梁，高中的三角比定义与初中的三角比定义一致，又能自然迁移到任意角的情形；这是理解任意角的三角比的概念关键之一，是数学发现的重要思想和方法. 探究3：点P在锐角的终边上移动时，这些比值会改变么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动态演示，同时做好用相似三角形性质解释说明.本探究突出锐角三角比与P点的位置无关，为学习任意角三角比和角的依赖关系做好铺垫. 探究4：能将锐角的三角比定义推广到任意角的三角比么？

师生共同探究推广，对一个任意角，它的终边所在的位置包括象限角、轴线角两类共八种情况. 情景A——任意角的终边分别在四个象限

情景B：任意角的终边分别在坐标轴的四个半轴上

作出三角比的定义，研究点P在终边上移动时，比值的变化情况.并通过图形得出三角比的角的取值情况.本探究突出内涵，揭示三角比的本质.指导学生根据定义的自主探索有利于学生在理解的基础上记忆、应用，也增进对三角比定义的掌握. （四）运用反思

例题1：已知角的终边经过点P2,1，求角的六个三角比的值

对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义. 练习：已知的终边落在yxx0上，求的六个三角比的值. 紧扣三角比定义求解，对如何取点求三角比，得出新的反思与思考

（五）数形再探

x能用图形表示出来么？

ry探究6：三角比值sin能用有向线段表示出来么？

ry探究7：三角比值tan能用有向线段表示出来么？

x探究5：三角比值cos教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体，而是把教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中，教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式，从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域. 练习：作角2正弦、余弦、正切线，并通过测量它们的长度写出正弦值、余弦值、正切值

3（六）总结体验

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策. 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力. 1、

通过建构刻画圆周运动的函数模型，获得六个三角比，它们是函数家族中的新成员，是可爱的“小弟弟，小妹妹”，知道部分三角比的几何意义. 2、

获得三角比的过程是一个将复杂问题简单化、简单具体化、具体问题精细化、精细问题再优化的一个学习探究过程. 3、

揭示数学概念是有生命有发展的，介绍历史人物欧拉，激发学习数学兴趣. 五、教学设计说明: 1.让计算机软件真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用. “让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养学

生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课40分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题;电子白板的互动平台方便学生老师间的交流。为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高. 2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.

课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动. 3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学. 苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！