6.4 反三角函数教案1

课题：反正弦函数的图像与性质

授课教师：高朋中；授课班级：高一7班

教学目标：

1．通过详解反正弦函数产生的过程，提高学生学习新知识的能力。

2．通过对反正弦函数定义域的研究，提高学生对数学问题的探索和研究能力。

3．通过归纳反正弦函数符号的三层含义，加深学生对数学问题的理解。

教学重点：渗透数学思想，加强数学抽象思维的训练，提高学生的思维能力。

教学难点：详解反正弦函数产生的过程。

教材分析：反正弦函数是反三角函数的一种，是学习三角函数后需要掌握的内容。反正弦函数作为基本初等函数之一，在数学课程的后续学习中有着基础性的作用。反正弦函数是学习反三角函数的模本，也是这一单元学习的重点和难点。本节课教授的知识点与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，掌握这些知识点既可以让学生理解反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，从而为学习其他反三角函数奠定基础。

学生分析：在本节课之前，同学们已经学习了三角比以及三角函数等知识，如在函数ysinx(xR)中，对于任意角x，都有唯一确定的正弦值y与之对应。同学们也熟知一些特殊角的三角函数值，然而，若已知的三角函数值不是特殊值而需求角时，就无法解决问题。

教学方法：发现式教学法

教学过程：

一、教学引入：

问题情境 先请同学回答一些特殊角的三角函数值：当x当x6时，ysin61；22时，ysin()等，即已知某一个角值x，都可以通过正弦函442数，求出其正弦值y。而另一类相反的问题是已知正弦值y，那么如何求对应的1，那么角x等于什么呢？

是否是x，为什么？265(kZ)；那当然绝大部分同学都知道答案：x2k(kZ)

或x2k66角值x，例如：已知sinx

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么如果已知sinx1，那么角x等于什么呢？同学议论纷纷，有的说不是特殊角，7有的说用计算器，对于计算器上的符号sin1、cos1、tan1也一知半解。教授新知识要从提出问题开始，由学生熟悉的话题引导他们进入未知的领域。正弦函数研究的是已知角值如何求得它的正弦值，反正弦函数要解决的则是已知正弦值如何求得对应的角值。部分学生提出用计算器计算，便可与同学一起查看计算器上cos1、tan1的意义。的符号，讨论符号sin1、有人说sin1xtan1x11cos1x、sinxcosx、1，让学生讨论这种说法正确与否，继而举出反例说明这种解释是不tanx正确的。那么计算器中符号sin1、cos1、tan1意义是什么呢？有部分学生联系以前学过的反函数f1(x)意义，得出计算器中符号sin1、cos1、tan1意义就是正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数。

数学教学的不仅是要向学生传授知识，更要培养训练他们的思考能力和创新精神。猜想是从已知原理和事实对未知现象及其规律所作出的一种假设，教师应鼓励学生大胆猜想、小心求证，激发学生的学习兴趣，发展学生的直觉思维，拓宽学生的解题思路。在此过程中，教师要鼓励、启发学生进行直觉猜想，及时就学生发表的猜想进行引导，不要急于抛出所有的知识点，而要留出足够的时间让学生主动思考。

至此，揭示本堂课程主题：如何由正弦函数的因变量确定自变量，这正需要我们研究正弦函数的反函数。正弦函数有没有反函数？什么叫反函数？怎么样的函数才有反函数？

二、新课讲授：

数学活动

1.巧设疑问：请同学回答下列问题：（1）反函数的定义；（2）存在反函数的条件。因为反函数的概念比较冗长，因此可以一边打出PPT字幕，一边指出同学回答不尽完善之处。同时，还可以复习一些较为浅显的问题，如：y3x2(xR)，y1(x0)等函数都有反函数，而yx2(xR)在定义域R上就没有反函数。继x而提出问题：如何改变函数yx2(xR)的定义域，才能使之有反函数？事实上，

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只要让定义域xR变成xR（或xR）即可。从而得出结论：不是任何一个函数都存在反函数；一个函数若存在反函数，其自变量与因变量必须是一一对应的。 2.数形结合：借助函数图像，指出若平行于x轴的直线与函数的图像有两个或两个以上的交点，这样的函数就没有反函数。“数形结合”是高中数学教学的重要一环，让学生通过对函数图像的观察，抓住某个函数的自变量与因变量是否是“一一对应”这一实质，掌握判断一个函数是否存在反函数的方法。

3.提出问题：（1）能不能从观察正弦函数图像来确定它是否存在反函数，为什么？（2）能否选取某一区间使正弦函数在该区间上存在反函数？（3）选取区间应遵循什么原则？

问题一的答案是否定的，教师可引导学生认识到：任一正弦值y都有无数个角值x与之对应，即正弦函数的自变量与因变量是多对一的，故而它不存在反函数。可以举出具体的例子。

尽管正弦函数不存在反函数，但只要选取某一区间，还是可以使其在该区间上存在反函数。选取该区间必须依据两个原则：（1）选取的区间能使正弦函数在该区间上存在反函数；（2）选取的区间能取到ysinx的一切函数值。 依据这两个原则应该选择怎样的区间呢？

可以在课堂上通过小组讨论、学生回答等形式不断补充完善，让学生说出他选取某一区间的理由。 4.互动教学：最终，总结各讨论小组代表发言，让学生自己得出结论：（1）[0,2]不符合要求，因为在这一区间内，有x与y不是一一对应；（2）[,0]或

[0,]22也不符合要求，因为它们的函数值不能取到[1,1]内的所有值，这会导致反函数的定义域不符合要求；（3）[,]这个区间最好，因为它满足一切要求，同时22它离原点最近，且关于原点对称，还有锐角这种比较容易处理的自变量。

5.得出结论：（1）反正弦函数概念：函数ysinx,x[,]的反函数叫做反正22弦函数，记作yarcsinx,x[1,1]；（2）画出反正弦函数的图像；（3）归纳出反正弦函数的性质：

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①反正弦函数yarcsinx的定义域[1,1]；②反正弦函数yarcsinx的值域[22,]；③反正弦函数yarcsinx在区间上[1,1]是增函数；④反正弦函数yarcsinx是奇函数；⑤对于闭区间[1,1]上的任意的x值，有恒等式：sin(arcsinx)x。

6.认识符号：如何认识arcsinx这个符号呢？ (1)符号arcsinx是一个角（弧度）；(2)arcsinx表示在[三、例题分析：

7.数学应用

例1、求值（1）arcsin13；

（2）arcsin0； （3）arcsin(). 22,]范围内的一个角；(3)这个角arcsinx的正弦值等于x。

22解：（1）arcsin13； （2）arcsin00

；

（3）arcsin(). 262315例2、求值（1）sin(arcsin())； （2）arcsin(sin)). 261151解：（1）sin(arcsin())sin()；

（2）arcsin(sin))arcsin. 262626课堂练习，巩固概念，强化学生对这节课知识点的掌握。

8.增强记忆：打油诗一首

正弦本无反函数，“断增取义”来帮助。

arc英文意思是弧，三层含义弄清楚。

四、小结：(1)了解反正弦函数产生的过程；(2)掌握反正弦函数的定义、图像和性质；(3)明白arcsinx的三层含义。

五、布置作业

六、提出问题 （1）今天主要解决的问题是已知正弦值求相应的角值以及反正弦函数的概念。现在我们能用任一正弦值表示[,]这个范围内的角值，课堂开始问题：2211sinx，求x的值？当x[,]时，xarcsin，那么对于其它范围，其它72274 

3区间上的角值如何去表示呢？例如：[,]中的如何表示呢？

22（2）如何研究反余弦函数与反正切函数呢？请同学课后思考。

七、回顾反思

1.重视知识产生的过程：本节课的核心环节是反正弦函数产生的过程，在这一环节中，教师要给学生搭建好猜想验证、释疑解惑的平台，并通过这个平台及时发现学生在学习过程中出现的问题并及时予以解决。这就需要教师认真研读课程标准，并在此基础上对课堂教学目标进行准确定位。

2.分组讨论充分调动学习积极性：正弦函数在xR不存在反函数，但只要选取某一区间，还是可以使其在该区间上存在反函数。要选取怎样的区间，才能使其存在反函数呢？此时，我们把全班同学分成9个小组，每组4人，各组进行充分的讨论，并指定一名学生发言。学生们通过讨论后除说出了课本上的区间[,]22外，又说出了[33,]，[,]，甚至说出了任意增区间[2k,2k]

2222223(kZ)或减区间[2k,2k](kZ)，此时教师进行归纳使学生形成共识选22[,]最好。

223.挖掘arcsinx的三层含义：结合具体实例讲解例题，确立标准，使学生碰到类似问题时有思考方向：

例如在例题（1）中，

第一步令arcsin3，第二步2[33,]，第三步sin，综上得到arcsin。

222234.激发学习兴趣培养自主学习意识：

高中数学课程标准明确提出：学生是数学学习的主人，数学教学应激发学生的学习兴趣，注重培养学生自主学习的意识和习惯，为学生创设良好的自主学习情境，尊重学生的个体差异，鼓励学生选择适合自己的学习方式。教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，这就要求教师在教学中应灵活应用多种教学策略，充分调动学生学习的积极性，引导学生在民主和谐的氛围中学会学习。教师应提倡生生互助式的“帮你学”，让他们在不断的讨论与反思中自主思考、掌握知识点，教师则在一旁当好引导者，将枯燥的、学术化的数学内容转化成易于学生理

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解的内容，使得学生在学习中善于思考、乐于思考。

本节课的特点是强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。本节课的教学让学生真正参与其中，引导学生通过思考不断发现问题、解决问题，逐步掌握反正弦函数发概念、符号、含义等，使学生不仅知其然，还知其所以然，让学生学会学习、学会思考。

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