5.3 同角三角比的关系和诱导公式ppt配套的教学设计及说课稿

3.2.2

同角三角函数之间的关系

[学习目标]

1.学生可以通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解并记忆同角三角函数的基本关系式. 3.运用同角关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

[回扣复习]

1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单y位圆交于P(x，y)点，则有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. x2．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？

设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝x2＋y2>0，则yxysinα＝，cosα＝，tanα＝. rrxy2x2y＋x于是sinα＋cosα＝r＋r＝r2＝1，

2222ysinαrysinα＝＝＝tanα.

即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. cosαxxcosαr【学生学案】

1．任意角三角函数的定义

如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．

yxy其中，r＝OP＝x2＋y2>0.则sinα＝，cosα＝，tanα＝. rrx2．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sinαπ(2)商数关系：tanα＝

(α≠kπ＋，k∈Z)．

cosα23．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

sinαsinα(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝. cosαtanα

【应用举例】

8例1

已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．

178解

∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么

17sinα＝1－cos2α＝815－2＝，

1－17171517sinα15tanα＝＝＝－. cosα88－17如果α是第三象限角，同理可得

1515sinα＝－1－cos2α＝－，tanα＝. 1784跟踪演练1

已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．

3sinα44解

由tanα＝＝，得sinα＝cosα①又sin2α＋cos2α＝1②

cosα33169由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 925344又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－. 535例2

化简下列各式：

(1)21－sin240°；(2) 1－sinα＋1＋sinα1－2sin10°cos10°；

2sin10°－1－sin10°(3) 1＋sinα，其中sinα·tanα<0. 1－sinα解

(1) 21－sin240°＝2cos240°＝2|cos40°|＝2cos40°. 1－2sin10°cos10°cos10°－sin10°2(2)＝

－cos210°sin10°－1－sin210°sin10°|cos10°－sin10°|cos10°－sin10°＝＝＝－1. sin10°－cos10°sin10°－cos10°(3)由于sinα·tanα<0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、三象限角，∴cosα<0，

∴1－sinα＋1＋sinα1＋sinα＝1－sinα1－sinα2＋1－sin2α1＋sinα2

1－sin2α|1－sinα||1＋sinα|1－sinα＋1＋sinα＝＋＝

|cosα||cosα|－cosα2＝－. cosα跟踪演练2

已知2tanα＝6，则

2sinα－3cosα(1)＝；

4sinα－9cosα(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝. 答案

(1)1

(2)1 2sinα－3cosα2tanα－32×3－3解析

(1)＝＝＝1；

4sinα－9cosα4tanα－94×3－9(2)sin2α－3sinαcosα＋1 sin2α－3sinαcosα＋sin2α＋cos2α＝

sin2α＋cos2α2sin2α－3sinαcosα＋cos2α2tan2α－3tanα＋12×32－3×3＋1＝＝＝＝1. sin2α＋cos2αtan2α＋132＋1tanα＋sinαtanαsinα例3

求证：＝. tanα－sinαtanαsinαtan2α－sin2α证明

∵右边＝

tanα－sinαtanαsinαtan2α－tan2αcos2αtan2α1－cos2α＝＝

tanα－sinαtanαsinαtanα－sinαtanαsinαtan2αsin2αtanαsinα＝＝＝左边，

tanα－sinαtanαsinαtanα－sinα∴原等式成立．

跟踪演练3

已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒成立．求a、b、c的值．

解

2cos4θ＋5cos2θ－7＝2(1－sin2θ)2＋5(1－sin2θ)－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，

故a＝2，b＝－9，c＝0.