3.1.2 空间向量的数乘运算名师教学设计｜教案在线预览

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3.1.2空间向量的数乘运算元氏一中曹青育教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用

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所属课文：3.1.2 空间向量的数乘运算

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3.1.2 空间向量的数乘运算名师教学设计

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关键词：3.1.2 空间向量的数…名师教学设计

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3.1.2空间向量的数乘运算元氏一中

曹青育

教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．

教学过程：

一、复习引入

1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．

2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

二、新课讲授

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb

．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵

向量p与向量a、b共面

∴

由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得

p= xa+yb．

充分性：如图，∵

xa，yb分别与a、b共线，

∴

xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵

xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴

p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，①

或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；

⑵由OPOMxMAy得M：OPOM(xOAO)M(yOB，

∴O)MOP(1xy)OMxOAyOB

③

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

7. 例题：课本P88例1 ，解略．

小结：向量方法证明四点共面

三、巩固练习

1. 练习：课本P89 练习3题. 2. 作业：课本P89 练习2题.

关于本教案的常见问题

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