小结教案评析

函数的导数及其应用复习小结第二课时

函数的极值与导数（教学设计）

龙海五中数学科 陈志明

教材分析：《函数的极值与导数》是学生在学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

学情分析：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课够能进一提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。

教学目标：

知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探索，获得函数的极值定义

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解

教学过程

〈一〉创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）

2．观察下图表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t+6.5t+10的图象，回答以下问题

h

2

oat（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数ht在t=a处的导数是多少呢？

（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳: 函数h(t)在a点处h(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数ht单调递增, /h't＞0;当t＞a时,函数ht单调递减, h't＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, h't先正后负,且h't连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？

<二>探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）

函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？

充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

4、引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：

（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？

5、随堂练习: 1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f

'x的图象?

<三>例题讲解

例：求函数fx/13x4x4的极值

3//教师分析:①求f(x),解出f(x)=0,找函数极点；

②由函数单调性确定在极点x0附近f(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导

解:∵fx13x4x4∴f'x=x2-4=(x-2)(x+2) 3令f'x=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)

当f'x＞0,即x＞2,或x＜-2时; (2)

当f'x＜0,即-2＜x＜2时. 当x变化时, f'x,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) + 单调递增

-2 0 (-2,2) - 单调递减

2 0 (2,+∞) + 单调递增

f'x

f(x) 28

34

3因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)= 28; 34

313函数fxx4x4的图象如右所示: 3

归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 1.求f'fx13x4x43x；

'222.解方程f3.当f'x=0；

x=0时: '(1)

如果在x0附近的左边f(2)

如果在x0附近的左边fx＞0,右边f'x＜0,那么f(x)是极大值. 0'x＜0,右边f'x＞0,那么f(x)是极小值

0

<四>课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x的极值

2、思考：已知函数f（x）=ax+bx-2x在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f（x）的解析式及单调区间。

<五>课后思考题

1、若函数f(x)=x-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围。

2、已知f(x)=x+ax+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。

<六>课堂小结

1、函数极值的定义

2、函数极值求解步骤

3、

一个点为函数的极值点的充要条件。 <七>布置作业 P32 5 ① ④

教学反思

本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练

研讨评议

教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获。

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