3.1.3 导数的几何意义教学设计模板

3.1.3导数的几何意义

汾阳中学：桑春娟

一、教材分析

本节是人教A版选修1-1第3章的3.1.3“导数的几何意义”。导数为研究函数提供了有效的方法。教材从形和数相结合的角度，即割线入手用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得了导数的几何意义。通过本节的学习可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数单调性，求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具。

二、学情分析

通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍有一定的困难。

根据学生的情况和教材的分析，制定这样的教学目标和重难点。

三、教学目标

1.了解由割线到切线的“以直代曲”的数学思想；

2.通过图像理解导数的几何意义；

3.会用导数的几何意义求曲线的切线方程. 四、教学重点

导数几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。

五、教学方法 这节课主要是以问题的形式，引导学生通过自主合作学习获得知识。这个过程能增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。

六、教学过程

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（一）复习巩固

回忆课本74页思考：观察函数么?

（二）新课探究

目标一：探究导数的几何意义

问题1 ：观察课本77页图3.1-2，当点Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x,f(x))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2 的图象平均变化率yf(x2)f(x1)表示什xx2x1教师：组织学生讨论交流。

师生：我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

设计意图：通过让学生观察图，教师引导直观的获得切线的定义。

思考：本节提到的切线与以前学过的切线定义有什么不同？

师生：共同举例分析圆的切线与这一节提到的切线有什么不同

设计意图：由学生发现圆的切线的定义并不适用一般曲线的切线，而是通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，这种定义才真

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正反映了切线的本质。

让学生感受到进一步探究学习的重要性。

问题2：割线PPn的斜率与切线PT的斜率k有什么关系？

教师：我们首先来看这样一个问题：你能借助图象说说割线PPn的斜率是多少吗？

学生：平均变化率f(x0x)f(x0)。

x教师：继续引导学生发现并说出：

当x0时，割线PPn切线PT，所以割线PPn的斜率切线PT的斜率。因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0

，f(x0))处的切线的斜率，

f(x0x)f(x0)f(x)lim0即 =k。

x0x教师板书导数的几何意义。

设计意图：通过数与形的结合，将切线斜率和导数相联系发现导数的几何意义。

目标二：渗透“以直代曲”的数学思想

例1．如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t) = -4.9t 2+6.5t+10，根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t

1、t2、t3附近的变化情况．

解析：引导学生运用“以直代曲”的思想由切线斜率的正负得到切线的升降情况，从而得到在切点附近曲线的升降情况

教师引导学生分析题目条件，教师讲解t

1处，然后由学生讲解另两个点的情况

设计意图：渗透“以直代曲”的数学思想

目标三:导函数的概念

例2，课本78页例3. 教师：引导学生分析讨论，并计算t=0.8时的瞬时变化率

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学生：分组分别计算t=0.2,0.4,0.6min时的瞬时变化率

师生：共同归纳导函数的概念

设计意图：让学生通过直观操作进一步认识到导数和切线斜率之间的关系，引导学生区别导函数与函数在某点处的导数。

目标四：导函数几何意义的应用

例3：已知曲线yx2，求曲线在点（2,4）处的切线方程。

教师：求切线方程，我们还需要什么条件？

学生：利用点斜式方程，还需要斜率。

教师：如何求切线的斜率？

学生：利用求导数的方法

师生：求出在点（2,4）处的导数即这点处切线的斜率，利用点斜式写出切线方程。

探究：若已知曲线方程及任意一点（该点不是切点），还能求曲线的切线方程吗？

如，求曲线yx2x1的过点P（-1,0）的切线方程。

教师：1、引导学生判断点（-1,0）在曲线上吗？

2、切线的斜率怎么求? 3、斜率还可以怎么求？

设计意图：加深理解曲线上某一点处切线的斜率等于这一点的导数，培养学生主动探索，解决问题的能力。

例4.已知曲线C：yx3。

（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

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学生：独立完成

设计意图：锻炼学生独立思考和解决问题的能力，进一步加深对切线定义的理解。

师生：共同总结求曲线某点处切线方程的步骤。

（三）课堂小结

（1）你学到了什么？

（2）你知道了哪些思想方法？

教师提问学生，师生共同完成对对本节课内容的归纳总结。并强调“以直代曲”的思想。

（四）.布置作业

习题3.1A组6 B组1,2,3 七、教学反思

本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义理解以直代曲的数学思想”两个教学重心展开。 1.教材中的例题具有示范性、创造性、启发性、典型性等特点. 在教学设计时要善于对它进行剖析、改造、深化, 艺术地处理教材内容, 这样可以让不同层次学生都参与到课堂中来,让每个学生都有收获。

同时也可以有效地增强教师的教学力度, 收获丰硕的教学成果.

2、通过例题2,让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，从而明确求时变化率就是求导数；通过形数的结合，进一步让学生感受到“以直代曲”的思想方法，从而掌握用简单的对象来刻画复杂的对象的能力。随后通过反馈练习，使学生提高导数几何意义的基本应用能力，让学生进一步亲身感受导数应用的广泛性。

3、通过例题反思, 问题教学, 可以让学生深刻体会如下的几个问题: ①

曲线与曲线的切线的交点是否只有一个？②

过曲线上的一点做切线是否只有一条？

③

如何求过一点的曲线的切线方程.

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本节课注重以学生为主体,每一个结论总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间，让学生在动笔演算、动手操作等活动后，进行充分的讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的回答以及课堂练习看来，效果较好。

但是，我觉得在例题的设计上不是太好，比如：本节课例4的设置，一是为了让学生巩固求切线方程，二是进一步理解切线的定义，感觉放到问题2后效果会更好一些。也许，就是因为留下了这么一丝遗憾，从而使我在今后的教育事业中，继续加强教学研究动力，不断地挖掘潜力和完善自我。

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