1.2.1 充分条件与必要条件教案教学设计

充分条件与必要条件

基础梳理充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的，q是p的．

；三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与¬q⇒¬p，q⇒p与¬p⇒¬q，p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

探究充要条件的判断【例】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点]结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．

解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，显然¬q⇒¬p，但¬p⇒/¬q，即¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．

(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，

所以p⇒q但q

p，故p是q的充分不必要条件．

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

【训练】设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的(A．充分而不必要条件C．充分必要条件解析)．B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{an}递增；反之亦然．答案

C难点突破——高考中充要条件的求解

从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．

判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．

一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．B．必要而不充分条件D．既不充分也不必A．充分而不必要条件C．充分必要条件

二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件

A．充分而不必要条件C．充要条件

充要条件与三角函数结合的解题策略π【示例】►“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的(4A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件)．