3.1.1 变化率问题名师教学视频（文字实录）

3.1.1变化率问题

教学目的：

（1）举实例理解平均变化率. （2）从具体到抽象给出平均变化率概念教学重点、难点：

重点：平均变化率的概念；

难点：平均变化率f(x2)f(x1).

x2x1f(x2)f(x1)的变型理解. x2x1

教学过程：

问题1

气球膨胀率

我们知道，气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）

之间的函数关系是

43VV(r)

r3，果将半径r变为体积V的函数，那么r(V)3

34当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多少？

r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为多少？

r(1)r(0)0.62(dm/L)

10类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了多少？

r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为多少？

r(2)r(1)0.16(dm/L)

21思考

当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为多少？

气球的平均膨胀率是：r(V2)r(V1)V2V133V23V144

V2V1问题2

高台跳水

人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的

时间t（单位：s）

存在函数关系

h(t)4.9t6.5t10

在0≤t≤0.5这段时间里，平均速度是多少？

2

vh(0.5)h(0)4.05(m/s)

0.50在1≤t≤2这段时间里，平均速度是多少？

vh(2)h(1)8.2(m/s)

21探究

计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

49（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

平均变化率定义

对于函数y＝f(x)，则f(x2)f(x1)称为函数从y＝f(x)从x1到x2的平均变化率. x2x1习惯上用x表示x2－x1，即x＝x2－x1（即.x1＋x代替x2），类似地，yf(x2)f(x1).

于是，平均变化率可以表示为

思考

观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率

y

.

xyf(x2)f(x1)yf(x2)f(x1)表示什么？

xx2x1yf(x)f(x2)f(x1)x2x1Ox1x2x1例1.求函数

yx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近平均变化率最大？3f(1x)f(1)(1x)212x；

解：在x=1附近的平均变化率为

k1xxf(2x)f(2)(2x)224x；

在x=2附近的平均变化率为k2xxf(3x)f(3)(3x)226x. 在x=3附近的平均变化率为k3xx若x117113119,k36.

，则k12,k243333333由于k1k2k3，在x=3附近的平均变化率最大.

练习：

1.已知自由落体运动为

S12gt,求:2(1)

物体从

t0

s

到

t1

s

这段时间的平均速度

;

(2)

物体从

t0

到

t0t

这段时间的平均速度.2. 经过曲线

f(x)x21上A、B两点作割线，求割线的斜率.

(1)

xA1，xB2

;

(2)

xA1，xB1.5

.

3. 国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理的效率比较高？为什么？

y

甲：W1(t)

标准乙：W2(t)

t1t0xO

课堂小结

平均变化率定义：

函数从y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)f(x1)y或.

x2x1x