1.1.3 四种命题间的相互关系教学目标

第2节

四种命题及其关系

最新考纲

1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 知

识

梳

理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(

) 解析

(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

π2.(教材练习改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) πA.若α≠4，则tan α≠1

πC.若tan α≠1，则α≠4

πB.若α＝4，则tan α≠1 πD.若tan α≠1，则α＝4

解析

命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan αππ≠1，綈p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”.

答案

C 3.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

) A.1

B.2 C.3

D.4 解析

原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题. 答案

B 考点一

四种命题的关系及其真假判断

【例1】

(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A.真、假、真

C.真、真、假

B.假、假、真

D.假、假、假

解析

(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.

(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假. 答案

(1)C

(2)B 规律方法

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举

出反例.

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

【训练1】

已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

解析

由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，

∴m≤1.

因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题. 答案

D [思想方法] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.