3.1.2 导数的概念PPT及专用教学设计内容

导数的概念

【学习目标】

1.理解瞬时变化率及导数的概念．

2．掌握瞬时变化率的推导．

3．会求函数在某一点处的导数．

4．能用导数定义求简单函数的导数．

【重点难点】会求函数在某一点处的导数．

重点：难点：能用导数定义求简单函数的导数．

自主学习内容

一、回顾旧知：

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子__________________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________，于是，平均变化率可表示为________．

二、基础知识

阅读教材第72—76页内容，然后回答问题 1、瞬时变化率：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平limΔy均变化率在Δx→0时的极限，即________＝Δ. x→0ΔxlimΔy2．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δ＝________，x→0ΔxlimΔy我们称它为函数f＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________或________，即f′(x0)＝Δx→0Δxlimf＝Δ

x→0x0＋Δx－fx0. Δx3、导数概念的理解

(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．

(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与接近．

三、例题与练习

fx0＋Δx－fx0无限Δx

求瞬时速度

[典例1] 子弹在枪筒中运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×10

m/s，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．

总结

求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(2)求平均速度，v＝Δs；

Δt；

. [练习1]一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s)．

求函数在某点处的导数

1[典例2] 求函数y＝x－在x＝1处的导数．

22－35x巧归纳] 1.利用定义求函数f(x)在x0处的导数的步骤：①求函数的增量Δy＝f(x0＋ΔyfΔx)－f(x0)；②求平均变化率＝Δxlimx0＋Δx－fx0；③取极限，得导数f′(x0)＝Δ

x→0ΔxΔy，上述步骤可以简记为“一差、二比、三极限”．

Δx12[练习2]已知f(x)＝(x＋1)，求f′(1)．

2

研习3 导数定义的变形应用

[典例3] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为b，求

limfa＋4Δxa＋5ΔxΔx→0

－fΔx的值．

[练习3]设函数f(x)在x＝x0处的导数为A，试求下列各式的值．

(1) limfx0－Δx－x0Δx→0

fΔx；

(2) limfx0＋4h－fx0＋5hΔx→0

2h.

四、课堂小结

五、作业

1．函数在某一点的导数是(

) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

2．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，则limΔsΔt→0

Δt为( A．从时间t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度

B．在t时刻时该物体的瞬时速度

)

C．当时间为Δt时物体的速度

D．在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度

3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(

) A．－4.8 m/s C．0.88 m/s B．－0.88 m/s D．4.8 m/s 224．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)(a，b为常数)，则(

) A．f′(x0)＝－a C．f′(x0)＝a B．f′(x0)＝－b

D．f′(x0)＝b

limf(x0－k)－f(x0)5．若f′(x0)＝2，则

等于(

) k→02k1A．－1 B．－2 C．1 D.

26．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s12＝t，则t＝2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为(

) 811A. B. C．1 D．2 42117．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________. x16limf(a＋2Δx)－f(a－2Δx)8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么Δ

的值为x→0Δx________．

limf(x)－f(a)29．已知f(x)＝，则x

＝________. →axx－a10．利用导数的定义求函数y＝f(x)＝－x＋3x在x＝2处的导数．

11．已知f(x)＝x，g(x)＝x，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．

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