3.1.1 空间向量及其加减运算优质公开课教案

3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计

紫微高中 陈洪良

教学目标：

（1）理解空间向量的有关概念．

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解．

能力目标：

（1）培养学生的类比思想、转化思想、数形结合思想，培养探究、研讨能力．

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的几何意义．

教学重点：

（1）空间向量的有关概念．

（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义．

教学难点：

空间向量的加减运算及其几何意义的理解．

教学过程：

一、引入

平面（二维）

平面几何

（长方形、三角形、圆等）

平面向量

推广

空间（三维）

立体几何

（长方体、三棱锥、球等）

空间向量

设计意图：以平面几何到立体几何的转变为例，引导学生将注意力转移到二维到三维的转变上来，为学生对平面向量到空间向量的认知奠定基础．

回顾平面向量：

1.

定义：平面内，既有大小又有方向的量．

2.

表示：向量OA，或向量a．

二、新课

思考1：（1）依据二维到三维的转变，你能在生活中找到空间向量吗？

（2）类比立体几何与平面几何的区别，你认为空间向量和平面向量的区别在哪里？

（3）那么，你认为可以怎样定义空间向量？

（空间内，既有大小又有方向的量）

设计意图：引导学生从类比的角度认识空间向量，思考空间向量与平面向量的区别，总结出

1

空间向量的概念．让学生形成一种认知：向量本身并无平面与空间之分，只是我们将它放到平面内研究就是平面向量，推广到空间中研究就是空间向量．

空间向量的相关概念：

定义：空间内，既有大小又有方向的量

表示：向量OA或向量a

相等向量：模相等、方向相同的向量，可表示为ab

相反向量：模相等、方向相反的向量，可表示为ab

共线向量：方向相同或相反的向量，规定零向量与任一向量共线

零向量：模为0的向量

单位向量：模为1的向量

思考2：将平面内所有单位向量的起点放在一起，则它们的终点构成的图形是 ；

将空间内所有单位向量的起点放在一起，则它们的终点构成的图形是 ．

设计意图：通过对空间向量相关概念的梳理，强化平面向量与空间向量的本质区别在于维数的不同，空间向量有更多的方向．利用“思考2”强化这种概念．

思考3：平面内任意两条直线有何位置关系？（平行、相交）

平面内任意两个非零向量有何位置关系？（共线、不共线）

空间内任意两条直线有何位置关系？（平行、相交、异面）

空间内任意两个非零向量有何位置关系？（共线、不共线）

设计意图：引导学生得出结论：向量是可以平移的，因此空间内任意两个非零向量都是共面的，故两个空间向量的问题就是两个平面向量的问题．

空间向量的加减法：

1.两个空间向量

加法：ab

平行四边形法则

三角形法则

ba几何意义

b

ab

a

ab

a

b

平行四边形对角线（起点重合）

第一个起点为起点，最后一个终点为终点的向量（首尾相接）

2

减法：ab

三角形法则

ba几何意义

b

a-b

a

ab可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

规定：a00aa，a-0a

2.三个空间向量abc

共面

不共面

c

b

b

a

c

a

探究1：（1）空间向量满足加法交换律吗，即abba？

（2）空间向量满足加法结合律吗，即abcabc？你能证明吗？

设计意图：让学生在探究中应用类比思想，并形成一种由平面四边形可以类比到空间四边形，由三角形可以类比到三棱锥的概念．

空间向量加法运算的交换律与结合律：

交换律：abba

结合律：abcabc

探究2：若将平行四边形的两条邻边分别表示为共起点的两个向量，那么，它的两条对角线就分别可表示为这两个向量的和与差，如下图：



b

ab

ab

a

3

类比此特点，若将平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）共顶点的三条棱分别表示为共起点的三个向量a，b，c，那么，它的四条体对角线分别与这三个向量有怎样的关系？

A A1

B1

D C D1

C1

c

b

a

B 设计意图：让学生在探究中应用类比思想，并形成一种由平行四边形可以类比到平行六面体的概念，从中体会空间向量加减运算的几何意义．

三、小结: 1.

通过这节课的学习，你对空间向量有了怎样的认识？它与平面向量之间有怎样的联系和区别？

2.

你会进行空间向量的加法和减法运算了吗？

3.

通过这节课的学习，你学到了哪些平面图形与立体图形之间可以进行类比？你还能举出哪些可以类比的图形？

4.

向量既然可以从二维推广到三维，那么是否也可以推广到n维？（P99“阅读与思考”）

四、作业：

1.完成书本P86练习；

2.完成配套教辅资料作业；

3.依据平面向量与空间向量的区别，探究空间向量的数乘、数量积运算．

4