1.2.1 充要条件优秀教案

1.2.2充要条件

教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.

教学重点：命题条件的充要性的正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

课

型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件（充要条件）；既不充分也不必要条件。

问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．

（1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成

（4）头发长，见识短 （5）名师出高徒 （6）放下屠刀，立地成佛

（7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好汉 （9）春回大地，万物复苏

（10）海内存知己 （11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器

说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分．

二、活动尝试

在数学中有很多可逆的命题，如

（1）若a是无理数，则a+5是无理数；

（2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．

这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。

三、师生探究

问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x>2，q：x>1；

（2）p：x>1,q：x>2；

（3）p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；

22（4）p：x=0，y=0，q：x+y=0. 解：（1）∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件. （3）∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件. 2222（4）∵x=0，y=0x+y=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x+y=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件. 在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念. 四、数学理论

1．相关的概念

如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条。

说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.

⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. 2.充要条件的判断方法

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么；

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；

⑶确定条件是结论的什么条件.、

⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。

五、巩固运用

例1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？

延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？

把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．

2例2：设A=｛x｜-2≤x≤a｝，B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝，M=｛Z｜Z=x,x∈A｝.求使MB的充要条件是什么? 2解：∵A=｛x｜-2≤x≤a｝,M=｛Z｜Z=x,x∈A｝. ∴B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝=｛y｜-1≤y≤2a+3｝. 2当-2≤a＜0时，M=｛Z｜a≤Z≤4｝. 当0≤a≤2时，M=｛Z｜0≤Z≤4｝. 2当a＞2时，M=｛Z｜0≤Z≤a｝. 1∴当-2≤a＜2时，MB4≤2a+3，即≤a≤2；

22当a＞2时，MBa≤2a+3，即2＜a≤3. 1综上可知，所求的充要条件为≤a≤3.

2*例3: 求证实系数一元二次方程xpxq0有两个异号根的充要条件是q0.

解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。

证明：（1）先证充分性

∵q0.

∴方程xpxq0的p4q0

∴方程xpxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2。

∵x·1x2q0

∴方程xpxq0有两个异号实根

（2）再证必要性

∵方程xpxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

222222

∴x·1x20

∵x·1x2q

∴q0

由（1）（2）原命题得证。

评析

注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立. 它亦等价于证明：

(1)原命题和否命题都成立；

(2)逆否命题和逆命题都成立；

(3)逆否命题和否命题都成立. 这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化. 六、回顾反思

本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果pq且qp，则p是q的充要条件．

七、课后练习

1．

“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2．“A∩B=A”是A=B的( ). A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；

4．抛物线y=ax+bx+c (a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________;

5．判断下列各题中条件是结论的什么条件：

2(1)条件A∶ax+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；

(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B. +6．已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N｝.当a为何值时. ①A是B的充分而不必要条件；

②A是B的必要而不充分条件；

③A是B的充要条件. 八、参考答案：

1．

A

2．B 3．图(1)：充分但不必要条件；

图(2)：必要但不充分条件；

图(3)：充要条件；

图(4)：既不充分也不必要条件. 2

4．4a+b=0

5．解：(1)∵△=a-4a＜0，即0＜a＜4 2∴当0＜a＜4时，ax+ax+1＞0恒成立.故BA. 2而当a=0时，ax+ax+1＞0恒成立，∴AB. 故A为B的必要不充分条件. (2)∵ABA∪B=B，

而当A=B时，A∪B=B，即qp，

∴p为q的充分不必要条件. 26． p≥4时，“4x+p＜0”是“x-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p，使“4x+p＜0”是2“x-x-2＞0”的必要条件. 2思考题：试寻求关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件. 2解法1：关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根2022m4n0m4n0m2m0012m0. 2n00n1f(0)01mn01mn0f(1)0解法2：

0m24n0m24n0xx0122m02m0方程在(0，1)内有实根x1x20. n00n1(x1)(x1)0211mn01mn0(x1)(x1)021