阅读与思考 旋转对称优质课教案内容

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

24.1 圆的有关性质

教学目标

1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，理解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点和圆的位置关系．

2. 探索并证明垂径定理；垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．

3. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，理解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是在直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．

教学重点

1. 理解圆的有关概念，了解弧、弦、圆心角之间的关系．

2. 垂径定理、圆周角定理的证明及其应用．

教学难点

垂径定理、圆周角定理的证明及其应用．

课时安排

5课时．

1

教师备课系统──多媒体教案

教案A

第1课时

教学内容

24.1.1 圆．

教学目标

1．使学生理解圆、弦、圆弧、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题．

2．逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力．

3．通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．

教学重点

理解圆的有关概念．

教学难点

对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．

教学过程

一、导入新课

展示有关圆的图片，导入新课的教学．

二、新课教学

1．阅读、理解．

教师引导学生阅读教材，理解教材中的有概念．

（1）圆、圆心、半径：在一个平面内（如下图），线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．

2

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

（4）圆弧、弧、半圆：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．

2．小组交流、师生对话．

问题1：一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？

问题2：弧分为哪几种？怎样表示？

问题3：在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？

通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难．

3．概念辨析. 判断题目：（1）直径是弦（

）

（2）弦是直径（

）

（3）半圆是弧（

）

（4）弧是半圆（

）

（5）长度相等的两段弧是等弧（

）

（6）等弧的长度相等（

）

（7）半径相等的两个半圆是等弧（

）

主要理解以下概念：弦与直径；弧与半圆、同心圆；等圆指两个图形；等圆、等弧是互相重合得到及等弧的条件作用．

4．实例探究．

例

矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD．

22∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上．

三、巩固练习

教材第81页练习．

四、课堂小结

本节应掌握以下内容：

1．圆、弦、圆弧、等圆、等孤的概念．

2．弧的表示方法．

3

教师备课系统──多媒体教案

五、布置作业

习题24.1 第1题．

第2课时

教学内容

24.1.2 垂直于弦的直径．

教学目标

1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明．

2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．

3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

教学重点

垂径定理及其应用．

教学难点

垂径定理的证明．

教学过程

一、导入新课

1．实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．

2．探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？

二、新课教学

1．垂径定理及证明．

请同学们回答下面两个问题：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

分析：（1）

圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．（2）我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

如右图，AA′是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA′，垂足为M．

（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

点评：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM＝A′M，＝，＝．即直径CD平分弦AA′，并且平分．

这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并4

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维来证明它．

已知：直径CD、弦A A′且CD⊥A A′垂足为M．

求证：AM＝A′M，＝，＝．

分析：要证AM＝A′M，，只要证AM、A′M构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．

证明：如图，连结OA、OA′，则OA＝OA′，

在Rt△OAM和Rt△OA′M中，OA＝OA′，OM＝O M，

∴Rt△OAM≌Rt△O A′M．

∴AM＝A′M．

∴点A和点A′关于CD对称．

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点A′重合，与重合，与重合．

∴＝，＝．. 进一步，我们还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．实例探究．

例

赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．

解：如上右图，用表示主桥拱，设经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与

所在圆的圆心为O，半径为R．

相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．

由题设可知

AB＝37 m，CD＝7.23 m，

所以

AD＝11AB＝×37＝18.5（m），

22OD＝OC－CD＝R－7.23．

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2＝AD2＋OD2，

即

R2＝18.52＋(R－7.23)2．

解得

R≈27.3 m．

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．

5

教师备课系统──多媒体教案

三、巩固练习

教材第83页练习．

四、课堂小结

今天学习了什么，还有哪些问题？

五、布置作业

习题24.1第2、3题．

第3课时

教学内容

24.1.3 弧、弦、圆心角．

教学目标

1．了解圆的旋转对称性，掌握圆心角的概念．

2．掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关证明和计算的问题．

教学重点

弧、弦、圆心角之间的关系．

教学难点

探索定理和推导及其应用．

教学过程

一、导入新课

学生活动：请同学们完成下题．

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．

点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′＝30°．

二、新课教学

探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？

实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质．

6

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．现在利用上面的性质来研究在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系．

思考：如下图，⊙O中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的弧弦AB和A′B′相等吗？为什么？

和、

我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．

∵

∠AOB＝∠A′OB′，

∴

射线OB与OB′重合．

又

OA＝OA′、OB＝OB′，

∴

点A与A′重合，点B与B′重合．

因此，与重合，AB与A′B′重合．即＝，AB＝A′B′．

这样，我们就得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．

三、实例探究

例

如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°．

求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

证明：∵

＝，

∴

AB＝AC，△ABC是等腰三角形．

又

∠ACB＝60°，

∴

△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA．

∴

∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

四、巩固练习

教材第85页练习1、2．

五、归纳总结

本节课应掌握：

1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

六、布置作业

习题24.1 第4题．

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教师备课系统──多媒体教案

第4课时

教学内容

24.1.4 圆周角（1）．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

教学重点

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

教学难点

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

教学过程

一、导入新课

学生活动：请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

点评：1．我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．

二、新课教学

1．圆周角．

在圆中，除圆心角外，还有一类角（如图中的∠ACB），它的顶点在圆上．并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．

如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB．可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间存在什么关系呢？下面我们就来研究这个问题．

2．探究

（1）分别测量图中所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？

（2）在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？

教师引导学生思考、讨论、探究，最后发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧8

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

所对的圆心角的度数的一半．

得出结论后，教师可让学生尝试证明这个结论．

证明：如下图，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：

（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部．

我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上．

对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线，如图（2）（3），将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论（请你自己证明）．

这样，我们就得到圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

进一步，我们还可以得到下面的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

三、巩固练习

教材第88页练习第1、3题．

四、课堂小结

本节课应掌握：

1．圆周角的概念．

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半．

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

五、布置作业

习题24.1 第7、8题．

第5课时

教学内容

24.1.4 圆周角（2）．

教学目标

1．了解圆内接多边形和多边形的外接圆．

2．通过实例，深化对圆周角的认识，熟练掌握圆周角定理及其推导解决一些具体问题．

9

教师备课系统──多媒体教案

教学重点

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

教学难点

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

教学过程

一、导入新课

1．什么叫圆周角？

2．你能说说圆周角定理吗？

复习上节内容，导入新课的教学

二、新课教学

1．实例探究

例

如下左图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．

解：如上右图，连接OD．

∵

AB是直径，

∴

∠ACB＝∠ADB＝90°．

在Rt△ABC中，BC＝AB2AC2＝10262＝8（cm）．

∵

CD平分∠ACB，

∴

∠ACD＝∠BCD．

∴

∠AOD＝∠BOD．

∴

AD＝BD．

又

在Rt△ABD中，AD2＝BD2＝AB2，

∴

AD＝BD＝22AB＝×10＝52（cm）．

222．内接多边形和外接圆．

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如下图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．

思考：圆内接四边形的四个角之间有什么关系？

因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究10

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

圆内接四边形的角之间的关系．

如右图，连接OB，OD．

∵

∠A所对的弧为又

和，∠C所对的弧为，

所对的圆心角的和是周角．

360∴

∠A＋∠C＝＝180°．

2同理

∠B＋∠D＝180°．

这样，利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质：

圆内接四边形的对角互补．

三、巩固练习

教材第88页练习第2、4、5题．

四、课堂小结

本节课应掌握：

1．圆周角的概念和定理．

2．圆内接多边形和多边形的外接圆．

3．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

五、布置作业

习题24.1 第9、12、13题．

教案B

第1课时

教学内容

24.1.1 圆．

教学目标

1．使学生理解圆、弦、圆弧、等圆、等弧的概念；初步会运用这些概念判断真假命题．

2．逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力．

3．通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．

教学重点

理解圆的有关概念．

11

教师备课系统──多媒体教案

教学难点

对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．

教学过程

一、导入新课

圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象，你能举出一些例子吗？

从生活中的情景着手，导入新课的教学．

二、新课教学

1．圆及其相关概念．

（1）圆的画法．

如下图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗? 重温圆的画法，深化对圆的理解和认识．

（2）圆及其相关概念．

如下图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．

从上图画圆的过程可以看出：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

3．弦、弧及其相关概念．

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如下图中，AB，AC是弦，AB是直径．

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆12

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或等圆的半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

4．实例探究．

例

矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD．

22∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上（下图）．

三、巩固练习

教材第81页练习．

四、课堂小结

本节应掌握以下内容：

1．圆、弦、圆弧、等圆、等孤的概念．

2．弧的表示方法．

五、布置作业

习题24.1 第1题．

第2课时

教学内容

24.1.2 垂直于弦的直径．

教学目标

1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明．

2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．

3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

教学重点

垂径定理及其应用．

教学难点

垂径定理的证明．

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教师备课系统──多媒体教案

教学过程

一、导入新课

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？

二、新课教学

1．圆的轴对称性质．

通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．下面我们来证明这个结论．

要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．如右图，设CD是⊙O的任意一条直经，A为⊙O 上点C，D以外的任意一点．过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．

在△OAA′中，

∵

OA＝OA′，

∴

△OAA′是等腰三角形．

又

AA′⊥CD，

∴

AM＝MA′．

即CD是AA′的垂直平分线．这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此关于直线CD对称，即

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．

2．垂径定理．

从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A和点A′是对称点．把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合，

分别与因此，AM＝A′M，重合．

＝，＝．

即直径CD平分弦AA′，并且平分．

这样，我们就得到垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

进一步，我们还可以得到推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

3．实例探究．

例1 赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

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人教版义务教育教材◎数学九年级上册

分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．

解题过程见教材第82、83页，

例2 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3 cm，所以作OE⊥AB于1E，而AE＝EB＝AB=4 cm．此时解Rt△AOE即可．

2解：连结OA，作OE⊥AB于E．则AE＝EB．

∵AB＝8cm，

∴AE＝4cm．

又∵OE＝3cm，

在Rt△AOE中，

OAOE2AE232425(cm)．

∴⊙O的半径为5 cm．

说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算．

三、巩固练习

教材第83页练习．

四、课堂小结

今天学习了什么，还有哪些问题？

五、布置作业

习题24.1 第2、3题．

第3课时

教学内容

24.1.3 弧、弦、圆心角．

教学目标

1．了解圆的旋转对称性，掌握圆心角的概念．

2．掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关证明和计算的问题．

教学重点

弧、弦、圆心角之间的关系．

教学难点

探索定理和推导及其应用．

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教师备课系统──多媒体教案

教学过程

一、导入新课

探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？

二、新课教学

1．圆心角的认识．

教师引导学生思考、分析、讨论，让学生知道：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质．

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．现在利用上面的性质来研究在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系．

2．定理的推导和证明．

思考：如下图，⊙O中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的弧弦AB和A′B′相等吗？为什么？

和、

我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．

∵

∠AOB＝∠A′OB′，

∴

射线OB与OB′重合．

又

OA＝OA′、OB＝OB′，

∴

点A与A′重合，点B与B′重合．

因此，与重合，AB与A′B′重合．即＝，AB＝A′B′．

这样，我们就得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．

3．实例探究．

例

如下图，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM＝∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部（右图），上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

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人教版义务教育教材◎数学九年级上册

分析：（1）要说明AB＝CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：（1）AB＝CD．

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F．

∵∠APM＝∠CPM，

∴∠1＝∠2，OE＝OF．

连结OD、OB，则OB＝OD，

∴Rt△OFD≌Rt△OEB．

∴DF＝BE．

根据垂径定理可得：AB＝CD．

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F．

∵∠APM＝∠CPN且OP＝OP，∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴Rt△OPE≌Rt△OPF．

∴OE＝OF．

连接OA、OB、OC、OD，易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF．

∴AB＝CD．

三、巩固练习

教材第85页练习1、2．

四、归纳总结

本节课应掌握：

1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

五、布置作业

习题24.1 第4题．

第4课时

教学内容

24.1.4 圆周角（1）．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

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教师备课系统──多媒体教案

教学重点

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

教学难点

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

教学过程

一、导入新课

复习上节内容，导入新课的教学．

二、新课教学

1．圆周角的认识．

顶点在圆上．并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．

如上图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB．可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧．

2．探究．

分别测量图中所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？

在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？

教师引导学生思考、讨论、探究，最后发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

得出结论后，教师可让学生尝试证明这个结论（过程略）．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

3．实例探究．

例

如下图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD＝CD，因为AB＝AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

解：BD＝CD．

理由是：如图，连接AD，

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人教版义务教育教材◎数学九年级上册

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°即AD⊥BC．

又∵AC＝AB，

∴BD＝CD．

三、巩固练习

教材第88页练习第1、3题．

四、课堂小结

今天你学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题24.1 第7、8题．

第5课时

教学内容

24.1.4 圆周角（2）．

教学目标

1．了解圆内接多边形和多边形的外接圆．

2．通过实例，深化对圆周角的认识，熟练掌握圆周角定理及其推导解决一些具体问题．

教学重点

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

教学难点

运用数学分类思想证明圆周角的定理．

教学过程

一、导入新课

复习上节内容，导入新课的教学．

二、新课教学

1．内接多边形和外接圆的认识．

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如下图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．

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教师备课系统──多媒体教案

思考：圆内接四边形的四个角之间有什么关系？

因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．

如右图，连接OB，OD．

∵

∠A所对的弧为又

和，∠C所对的弧为，

所对的圆心角的和是周角．

360∴

∠A＋∠C＝＝180°．

2同理

∠B＋∠D＝180°．

这样，利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．

2．实例探究．

如图，内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角哪些相等？为什么？

教师引导学生审题，注意解题条件和步骤．

参考答案：∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8．

三、巩固练习

教材第88页练习第2、4、5题．

四、课堂小结

今天学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题24.1 第9、12、13题．

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