正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学内容

24.3 正多边形和圆

澄迈县马村学校 马萍

教学目标

1.了解正多边形和圆的有关概念；

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；

3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

重难点、关键

1.重点：

正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

2．难点：

正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1.什么叫正多边形？

2.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

3.实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A=1BCF=1（BC+CD+DE+EF）=2BC 22 ∠B=1CDA=1（CD+DE+EF+FA）=2CD 22 ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的FEODC周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AMBAB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的6边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=1AB=1a 22

利用勾股定理，可得边心距

OM= 1a2(a)22 = 1223a ∴所求正六边形的面积=6×1×AB×OM=6×1×a×23a=3223a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=360=72°，

5如图，∠AOC=30°，OA=1AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈22.55（cm）

画法：

（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．

（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

三、巩固练习

1.教材P115 练习1、2、3 2.P116 探究题、练习．

四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNhNFAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGEBF

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h= ACBCAB86 =4.8 10 （2）∵h=hDNhNF且ABDN=x

∴NF=10(4.8x)

4.8 则S四边形DEFN=x·10（4.8-x）=-25x+10x 24.812 =-25（x-120x）

225122 =-25 [（x-60）-3600] 62512252 =-25（x-2.4）+12 x2 ∵-25（x-2.4）≤0 x2 ∴-25（x-2.4）+12≤12 且当xx=2.4时，取等号

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE=DE2EF2322.42=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: _

C_

G_

A_

D_

F_

E_

B

此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1.正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．

2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．

3.画正多边形的方法．

4.运用以上的知识解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 2. P118 8．