1.1 锐角三角函数优秀获奖教案

《

"PAkPB"型线段和最值问题探究（一）》

教学设计

执教者：王翠红

课题

解读理念

学情分析

教材分析

"PAkPB"型线段和最值问题探究（一）

面向全体学生，着眼于学生的全面发展，使不同的学生都能获得不同的知识体验. 学生对几何已经具备一定的分析，推理能力，对于常用数学思想方法的运用也相对熟练，但缺乏数学建模能力或数学建模思想应用缺失.每类问题都可以根据相关的数学理论建立相关的解题模型,依照模型可以方便解决相关最值问题，所以应引导他们学会建立数学模型来解决初中几何中常见的“PAkPB”型最值问题.

“PAkPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点.这

类问题基于“将军饮马”模型，运用化归和轴对称思想解决“胡不归”

和“阿氏圆”问题.此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何

内容标准

图形的性质、平面直角坐标系、相似、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出.这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理、分析、建模能力的要求及数学思想方法的运用.

教学目标

情感态度价值观目标

培养学生观察、思考的良好思维习惯，体会数学模型对数学问题解决的重要性. 1.通过变式训练，总结解决问题的方法和技巧，能内化对几何探究，推理能力以及数学思想方法的应用，学会用基本模型解决问题. 2.通过运用几何模型求最值的问题体会转化思想和数形结合思想，能体会建模思想的重要性.

1.能根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值. 知识目标

2.会利用“垂线段最短”求线段之和最小值. 3.会利用新构建的几何模型求"PAkPB"（0k1）型最值. 教学重点

教学难点

教学方法

利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求"PAkPB"型最值

能力目标

"PAkPB"（0k1）型几何模型的构建

引导，建模，讨论，探究

1.把握中考导向，了解学生的知识基础和思维层次.

方法解读

教学准备

2.教师搜集相关资料，制作多媒体课件，准备学习单. 教学环节

教学内容

创设情境，激发学生学习热情

1.在菱形ABCD中，教师活动

教师提出问题，引导学生活动

学生思考，在学

导入新课

合作交流

探究学习

回AB4,BAD60,P是学生积极思考、讨论. 习单上演练，AC上的动点，E是AD的中点，求DPPE的最小值.

教师总结：

先利用轴对称思想，答问题，并简要阐述理由.

教学过程

合作交流

探究新知

化“同侧”为“异侧”；

再利用“两点之间线段最短”，化“折”

变式1：在菱形ABCD中，为“直”.

教师引导学生类比，

学生自主讨论，解决问题，并上AB4,BAD45,P是假设点E先不动，看台进行展示

AC上的动点，E是AD上的动做定点，如何解决？

点，求DPPE的最小值.

变式2：在菱形ABCD中，

学生归纳：

先利用轴对称思想，化“同侧”为“异侧”；

再利用“两点之间线段最短”，化“折”为“直”. 最后利用“垂线段最短”，求最小值.

学生合作讨论，尝试解决.

AB4,BAD60,P是AC上的动点，求BP的最小值. 教师引导，本题的关键是如何确定“

教师总结：关键是构造30°的正弦值等1AP21AP”的大小？

2

11于,将AP转化22

为PE,其余同上.

生活实际

如图，一条笔直的公路

穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路45km的地方有一居民点B. A,B之间的距离为90km.王老师要驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h.问王老师应以怎样的路线行驶，所用的时间最短？

教师引导学生，结合生活实际，帮助老师一起解决问题，构建模型.

根据教师提示，

学生在学习单上尝试解决.

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

模型提炼：

模型提炼

模型应用

例题讲解

第一步：在定直线AD学生根据课件展示，回答问的一侧，BD的异侧构题，并说明理论造一个角度，使依据. sink. 第二步：过定点B作所构造的一边作垂线，则该垂线段的长度就是所求的最小值. 第三步：计算.

教师针对学生的回答进行适当的补充.

322yx3x3与

33

链接中考

x轴交于B,C两点，与y轴交教师留给学生充足的学生在不同背思考和演练时间，巡于点A,N(2,3)为抛物线上一点，在x轴上找一点Q，使得QN视学生，看学生的完成情况，参与讨论与景下的题目进行模型套用，讨论解决不同图形组合中的线段和最小问题.

学生自主学习的基础上进行小组合作学习，然后由小组代表进行解答.

1CQ最小，求总结. 2

1QNCQ的最小值. 2

（2018年重庆市第26题）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．

（1）求线段AB的长；

（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；

教师留给学生充足的思考和演练时间，巡视学生，看学生的完成情况，参与讨论与总结.

小结回顾

总结本节课所学知识

想一想：

1.上述求最值问题根据什么几何性质？

思考：从变式2开始，与前2道题从已知及所求方面有什么不同？从解决问题的方法上与前2题有什么区别和联系？

教师根据学生描述利用多媒体建立求学生考虑回答做法与解法，依据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”.

学生回答

"PAkPB"型最值的数学模型，要构造某角的正弦值等于k（如k1，则要先提取系数去构造某角的正弦值等于1或等k于k2），将k倍线段k1转化，再利用“垂线段最短”解决问题.

说在最后："PAkPB"型最值，当

k取任意不为

1 的正数时一般分为两类研究：即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”

问题，就是我们今天所研究的；还有一类，点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题.以后有机会再一起探讨.

板书设计

"PAkPB"型线段和最值问题探究（一）

1.当"k1"时

【模型提炼】

【例题板演】

（1）先利用轴对称思想，

第一步：在定直线AD的一侧，

化“同侧”为“异侧”；

BD的异侧构造一个角度，使sink

（2）再利用“两点之间线段最短”，

第二步：过定点B作所构造的一边作垂线，

化“折”为“直”.

则该垂线段的长度就是所求的最小值. （3）.最后利用“垂线段最短”，

第三步：计算

求最小值..

2.当"0k1"时

分两类：（1）动点在定直线上运动

（2）动点在圆上运动

教学效果预测

学生能由浅入深的将常见的"PAkPB"型几何最值，利用数学模型解答出来，对于复杂一点的通过教师的补充和总结性归纳，学生能够达到梳理形成自己的知识体系的效果.