二次函数y=ax²的图像和性质优秀教学设计

二次函数yax2的图象和性质

教学目标

1．知识与技能

能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质

2．过程与方法

经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法. 3．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．

教学重点难点

1．重点

函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．

2．难点

用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．

教与学互动设计

（一）创设情境

导入新课

导语一

回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？

导语二

展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

导语三

用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

（二）合作交流

解读探究

1．函数y=ax2

的图象画法及相关名称

【探究

l】画y=x2的图象

学生动手实践、尝试画y=x2的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.

【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：

①形状是开口向上的抛物线

②图象关于y轴对称

③由最低点，没有最高点. 结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.

O

图22-1-1 x

O

图22-1-2 x

y

y=x2 y=2x2 y

y=x2 y=12 x22．函数y=ax2的图象特征及其性质

【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象. 2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2 比较图中三个抛物线的异同. 相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）. ②对称轴相同，都为y轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上. 不同点：开口大小不同. 【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）

比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点. 212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线. ②顶点相同，其坐标都为（0，0）. ③对称轴相同，都为y轴

④开口方向相同，它们的开口方向都向下. 不同点：开口大小不同. 【归纳】y=ax2的图象特征：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点. (3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小

（三）应用迁移

巩固提高

类型之一

如何画好二次函数的图象

【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可. ．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线. 例1

下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.

解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线. 图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线. 图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.

【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意. 类型之二

函数y=ax2的图象特征的应用

例2（1）填空：函数y(2x)2的图象是

，顶点坐标是

，对称轴是

，开口方向是

. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称. 2

解：（1）y(2x)2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上. 【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误. (2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x2

2【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小. （四）总结反思

拓展升华

【总结】

1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质. 2.本节所用的方法：实践比较法

【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）

【拓展】

已知函数y=ax2经过(1,2).

（1）求a的值. （2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况

解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12

∴a=2. (2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小. 【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小.. （五）当堂检测反馈

1. 抛物线y=4x2中的开口方向是

向上

，顶点坐标是

（0，0），对称轴是

y轴

.抛物线y=-对称轴是

y轴

. 2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 . 【分析】a与-2互为相反数

13. 在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是

向下

，顶点坐标是

（0，0），4的是

①y12x，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2. 21解：

∵||<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小. 2∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下. 14. 二次函数y=2x2，

y=-2x2

，y=x2的图象共同点是①顶点相同，都是原2点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴. 5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况. 解：设此抛物线的解析式为y=ax2, ∵此抛物线过点（-3，2），

∴2=a·(-3)2,即a=

22,.∴y=x2, ∴当x>0时，y随x的增大而增大. 99