平方差公式的运用优质课教案

11.3

公式法

1.经历用乘法公式探究因式分解.通过因式分解的过程,体会从正反两个方面认识和研究事物的方法.

2.会用公式法进行因式分解.

通过观察两个乘法公式的特点进行因式分解.

培养学生类比分析问题的思维习惯.

【重点】

利用乘法公式进行因式分解.

【难点】

把多项式看成乘法公式中一个字母的因式分解.

第课时

会用平方差公式进行因式分解.

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维.

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯.

【重点】

运用平方差公式进行分解因式.

【难点】

把多项式看成平方差公式中一个字母的因式分解.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复***方差公式的特点.

导入一:

在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.

如果一个多项式的各项不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.

请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,①

左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b),②

左边是一个多项式,右边是整式的乘积,大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解? 符合因式分解的定义,因此是因式分解.

第①个等式可以看做是整式乘法中的平方差公式,第②个等式可以看做是因式分解中的平方差公式.

[设计意图]

引导学生从感性认识上升到理性认识,区别整式乘法与分解因式的同时,认识学习新的分解因式的方法——公式法.

导入二:

填空:(1)(x+5)(x-5)=

; (2)(3x+y)(3x-y)=

; (3)(3m+2n)(3m-2n)=

.

它们的结果有什么共同特征? 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积: (1)x2-25=

; (2)9x2-y2=

; (3)9m2-4n2=

.

[设计意图]

学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.

[过渡语]

整式相乘与因式分解是互为相反的过程.如果把学过的乘法公式逆过来使用,那么就可以将某些多项式分解因式.

活动1

利用平方差公式进行分解

1.利用平方差公式的特点进行因式分解

请大家观察式子a2-b2,找出它的特点.

a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.

如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.

如x2-16=x2-42=(x+4)(x-4).

9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n).

实际上,把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b).

[设计意图]

让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.

2.试着做一做

试着将下面的多项式分解因式.

(1)p2-16=

; (2)y2-4=

; (3)x2-=

; (4)4a2-b2=

.

答案:(1)(p+4)(p-4)

(2)(y+2)(y-2)

(3)

-

(4)(2a+b)(2a-b)

活动2

例题讲解

[过渡语]

如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式,那么它就可以用平方差公式分解因式了.

(教材第148页例1)把下列各式分解因式.

(1)4x2-9y2;(2)(3m-1)2-9.

解:(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)·(2x-3y).

(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).

(教材第148页例2)把下列各式分解因式.

(1)a3-16a; (2)2ab3-2ab.

解:(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a-4)(a+4).

(2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).

[知识拓展]

当多项式有公因式时,应先提出公因式,再看能否利用平方差公式进行因式分解.

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.若多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合,则继续进行.

第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能再分解为止.