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人教A版

必修五

《九连环》的教学设计

霸州市第五中学 刘少敏

一、教学背景

探秘九连环是有益启发智力的活动，通过九连环的装拆竞赛，引导学生感受科技竞赛魅力，提高学生的智力和实践操作能力。

解九连环可以激发学生积极参加各项活动，在观察、拼摆、创作中研究和解决问题，为学生提供开放的个性发展空间；同时培养学生逻辑思维的锻炼及拓展能力，使学生口语表达能力的在课堂中有所表现。解九连环的理论知识是构造等比数列并求解公式，是高考的必考重点，

二、教学目标

1、情感态度价值观：九连环使学生体验到通过努力解出九连环的喜悦，产生进一步探索其他益智游戏的兴趣；同时使学生乐于与人交流分享，初步学会学习分析。

2、过程与方法：学生经历九连环由简到繁的拆装，体验解九连环的奇妙之处，懂得有时要做好一件事情，与人交流，合理分工，齐心协力的重要性。

3、知识与技能：学生可以了解九连环的基本特征；感悟九连环的变换规律；培养学生准确快速的动手操作能力，激发创造思维能力。

三、教学过程：

1、激趣导入

先引入九连环在我国的小典故：①、西汉才女司马相如之妻卓文君曾提及九连环，“…七弦琴无心谈，八行书无可传，九连环从中折

断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千怀念，万般无奈把郎怨…”②、

2003年3月8号，中国甘肃省嘉峪关市的王仲斌以3分57秒成功解出九连环，进入吉尼斯世界纪录大全。③2012年10月25日，CCTV新闻频道报道，江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解九连环的记录，时间为161秒，(蒙眼)。

九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性，九连环既练脑力又练手力，还可以培养学生学习的专注精神和耐心。

2、活动过程

（1）、学生通过自己探究初步了解九连环

九连环由9个大小相同的圆环依次排开，每个圆环上都连有一个较细的铁丝直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端都插在一个木板的一排小孔里，使它们能在小孔里上下移动，但不会脱出。

（2）、学生明了解九连环的规则：（老师边讲解边拿九连环操作）

解九连环就是要把这九个圆环全部从框架上解下或套上，都要遵循一定的规则，例如：为了解下第i个圆环，必须先解下前(i-2)个圆环，因为如果前(i-1)个圆环已经被解下，第i个圆环就无法再解下，如果前(i-1)个圆环已经被解下，第(i+1)个圆环就可以很容易解下。 （3）、让学生总结解九连环的步骤

假设K(n)表示解下n个圆环所需要的最少移动次数。

①

、解下第一个圆环，即n=1时，需K(1)= 1次。

②

、解下第二个圆环，先要套上第1圆环，再同时解下12圆环。 共需K(2)= 2 次。

③

、解下第三个圆环，先要解下第1环，再解下第3环，然后套上第1环，接着解一个“二连环”。共需K(3)=1+1+1+f(2)= 5次。

④

、解下第四个圆环，先解下前2环，再解下第4环，再套上前2环，接着解一个“三连环”，共需K(4)=f(2)+1+f(2)+f(3) =2f(2)+f(3)+1= 10 次。

⑤

、解下第五个圆环，则需要K(5)=f(3)+1+f(3)+f(4) =2f(3)+f(4)+1=21次。

▲由以上归纳类比可得，“n连环”的解法可分为四步：

K(n)=f(n-2)+1+f(n-2)+f(n-1)=2f(n-2)+f(n-1)+1 （4）、解九连环的计算过程

已知数列{f(n)}，f(n)=2f(n-2)+f(n-1)+1 其中f(1)=1,f(2)=2,n≧3 下面我们共同研究，如何能求出该数列的通项公式？

解：记anf(n1)f(n)，则上式可得an2an11，且a1f(2)f(1)3，

由an2an11得

an12(an11)得到一个数列{an1}是首项为a114公比为2的等比数列。

所以an142n12n1，得an2n11，即f(n1)f(n)2n11 ①

设f(n1)r2n1p(1)[f(n)r2np]则f(n1)f(n)3r2n2p

②

2r21213由①②可得： 即f(n1)2n1(1)[f(n)2n]，

3232p1221f(n1)2n132(1)，所以{f(n)22n1}是一个首项为

2132f(n)2n32211f(1)2，公比为-1的等比数列。

326211可得通项公式为：f(n)2n(1)n1

326121整理得：f(n)(1)n12n ……③

6321211当n为偶数时：f(n)(1)2n(2n12) 63231211当n为奇数时：f(n)2n(2n11) 6323则解九连环至少需要移动：

1f(9)(2911)341次 3 (5)、解九连环的相关章节知识

老师以向学生提问的形式，提问等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n项的和的知识点。

（6）、利用数列公式解决相关的问题

Ⅰ、已知数列{an}满足an1an

1322（1）、当an时，求证{an}是等比数列

337（2）、当an时，求数列{an}的通项公式

612Ⅱ、判断下列等式是否成立

①、124816(2)23nn11(12n)

1(2)1(12n)②、12222

12c2[1(c2)n]③、cccc

21c2462nⅢ、已知等比数列{an}中，已知a12,S36，则q=____________. 3、小小竞技比赛

找班内两名能熟练解出九连环的同学，比赛看谁能用最短的时间解出九连环，让同学们在轻松的氛围中明白：人生无处没有竞争。

四、总结扩展

老师做全面的总结，引导学生自我反思，在方法技能、情感体验方面都有收获，激发学生继续探究九连环智力玩具的兴趣。