小结教学目标

基本不等式（第一课时）

授课教师：重庆二十九中学 孙胜亮

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学内容

“基本不等式”是人教A版必修5第三章不等式3.4的内容。主要包括：基本不等式的推导证明、基本不等式的几何解释和不等式的综合应用。作为高中数学必修知识中介绍的唯一一个不等式，可见其作用之重要，基本不等式的变形和推广形式之多，也赋予其在不等式中基础性的地位。

教材以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图通过寻找图中相关面积间存在的数量关系来抽象出不等式，在此基础上从不同角度（推导证明、几何解释、初步应用）引导学生认识基本不等式，感受不等式的实际和理论应用价值。

二、教学目标

1．通过对赵爽弦图的观察，引导学生从几何图形中获得重要不等式，体会数形结合的思想；

2．对重要不等式做变换得到基本不等式，并从代数角度给出基本不等式的证明，体会换元思想，并加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提2升解决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

三、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，应用不等式abab解决最值问题；

2难点：理解基本不等式、基本不等式成立的条件以及用基本不等式求最大值和最小值．

四、教学策略

本课在设计上采用了由实践到理论、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、换元的思想，层层深入，通过教师引导、学生自主探究，师生互动、讲练结合，同时，借助多媒体

的直观演示，帮助学生理解，从而突出重点、突破难点．

五、教学过程：

1．创造氛围，开启新章

熟悉的“大风车之歌”，吸引学生关注风车的构造，进而将图形抽象为第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

新课探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，那么正方形的边长为a2b2．于是，4个直角三角形的面积之和S12ab，正方形的面积S2a2b2．由图可知S2S1，即a2b22ab．

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，引导学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而得到不等式结论：

若a,bR，则ab2ab．

对重要不等式进行等价转换得到基本不等式：若a,bR，则ab本节课的研究课题。

新课探究二：如何证明基本不等式？

（分析法）：由于a,bR，于是要证明 22ab，从而引出2abab，

2只要证明 ab2ab，

即证 ab2ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，所以得出结论，展示课题内容

基本不等式: 若a,bR，则ab深入思考，加深理解

abab，当ab时取等号．

2ab（当且仅当ab时，等号成立）

2

如何理解“当且仅当”？

“当”：

ab(ab)20ab2ab0ab2ab2ab“仅当”：

ab(ab)20ab2ab0ab2abab3．几何解释，形象直观

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．

根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有abD B E A O C ab

2当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立，即“半径不小于半弦”

4.多角度理解基本不等式：

①平均数角度

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

②数列角度

两正数的等差中项大于或等于它们正的等比中项

5．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

41的值域．

x1变式1.

若x1,，求yx的最小值．

x13变式2.

若x3，求y3x的最小值．

x1例2.求函数yx

通过例2及其变式引导学生注意运用基本不等式abab的三个限制条件“一正二2定三相等”，

体会三个限制条件的作用，提升解决问题的能力。

6．总结深化，三维演示

abab(a0,b0) “一正 二定 三相等”

2ab2)ab

重要变形：ab2ab (2知识要点：思想与方法：数形结合思想 和三维演示：

积

六．教学反思

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．