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《等差数列前n项和公式》教学设计

《等差数列前n项和公式》教学设计

贵州省瓮安中学 陈敏

一、设计指导思想与理论依据

本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前n项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。

二、教材分析

1、教学内容：《等差数列前n项和》是人教A版必修5第二章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

2、地位与作用：

（1）教材知识编排角度：本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进行，其学***台是学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。

（2）解决问题方法角度：数列是特殊的函数，其前n项和公式Snf(n)是数列的前n项和Sn与从这个角度出发，寻求等差数列的前n项和公式的本质就是寻求Sn与n之n之间的函数解析式。间的函数关系式。这一概念将有助于学生自主探求等差数列前n项和公式。因此，问题的被动解决过程有效的转化成了学生的主动探求过程。在探求之中，采用了头脑风暴训练法，讨论多多益善，为学生的发散思维提供了更加广阔的空间。

（3）培养学生能力角度：等差数列前n项和公式的探讨遵循了“提问—预测—析疑—总结”的问题解决模式，将整个探求过程交由学生主宰，充分调动学生积极性，发挥学生的主体地位，对学生“提出问题—理解问题—分析问题—解决问题—评价问题”的能力起到了良好的训练作用，加强和提高了学生解决问题的能力。

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三、学情分析

1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。

2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。

3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

四、教学目标

1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；

2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；

3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；

4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；

5、通过学生搜集历史名题，让学生了解数学史中等差数列的发展，引发学生用所学知识对前人的解法进行思考与探究；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，体会数学的实用价值，并学会用数学知识解决实际问题。

五、教学重点与难点

1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用

2、教学难点：公式推导的思路

3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利第2页，共12页

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用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。

六、核心问题

类比高斯算法，探求一般等差数列的前n项和公式。

七、教学流程

创设问题情境，提出问题——探究等差数列前n项和公式——公式理解和深化——公式应用，反馈评价——归纳总结，升华认知

八、教学过程设计

（一）创设情景，提出问题

欣赏图片——泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。

问题1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？

教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。

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学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1. 活动预设：

（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。

（2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石？

【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。

（二）探究等差数列前n项和公式

教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，征求高斯故事。

学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。

问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？

教师活动：指导学生快速找出规律。

学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？

活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？

教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。

学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。

活动预设：构造数列：a11,a22,a9999,a100100，则有性质：

等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq。

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【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。

问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？

方法1：分类讨论法

教师活动：给出一般数列：设等差数列{an}前n项和为Sn，Sna1a2a3有限的项表示Sn？

说明：Sna1a2a3an，则如何用an只是给出了等差数列前n项和的形式定义，而我们推导的求和公式是在等差数列确定的情况下，探究Sn与n之间所满足的对应关系，即寻求Snf(a1,an,n)或Snf(a1,d,n)的表达式。

学生活动：类比高斯算法，分小组讨论并探求等差数列前n项和公式。

活动预设：以小组为单位投影学生推导过程，并让其对过程做出解释和说明。

a1a2a3

an2an1an

其中a1ana2an1a3an2结果预测：（1）学生没有对n的奇偶进行讨论，不严密地得出答案；

（2）学生对n的奇偶进行讨论，但对于n是奇数时的推导遇到障碍。

问题4：利用等差数列性质：若mnpq，则amanapa。得出：a1ana2na1a3na2?，究竟一共有多少个a1an？

教师活动：提出问题，引导学生讨论，并抽小组成员发表本组观点。

学生活动：再次以小组为单位以n的奇偶为标准对前n项和公式进行求解。

活动预设：

（1）当n为偶数时：

Sna1anan221an 第5页，共12页

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Snn(a1an)

2（2）当n为奇数时：

Sna1an121an1an1221an

n1Sn(a1an)an1

22问题5：an1落单了，如何处理an1使得我们公式能够统一形式？

22教师活动：提示学生观察an1的脚标与(a1an)脚标的关系。

2学生活动：以小组为单位讨论an1的处理办法。

2活动预设：不难发现，an1的脚标与(a1an)脚标满足如下关系：

22n11n，故有

2Snn1(a1an)an1

22n12(a1an)22a1ann1(a1an)22n(a1an)2an1an12

从而得到：无论n取偶数还是奇数，都有Snn(a1an)。

2【设计意图】（1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发现需要对n的奇偶进行讨论，顺应学生思路，自然过渡，学生容易联想，也充分体现了新课改中尊重学生主体性的原则；

（2）引导学生发现中间项an1的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列实际上就是对2脚标数的研究。

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方法2：倒序相加法

问题6：对n的奇偶讨论过于复杂，能否回避对n的讨论呢？

教师活动：回到开始三角形宝石图片，假设有n层，如何快速计算宝石总数？给出提示：将三角形宝石做倒置再和原来三角形宝石拼接成平行四边形。

学生活动：计算拼接之后的宝石数量。

活动预设：拼接之后每一层的宝石数量为a1an，总共有n层，所以又2Sn(a1an)n。由此引入倒序相加法：

Sna1a2a3an2an1anSnanan1an2a3a2a1

(an2a3)(an1a2)(ana1)2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)由性质“若mnpq，则amanapaq”可得：

2Snn(a1an)Snn(a1an)（等差数列前n项和公式）

2【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导学生利用图形倒置进而联想算式的倒序是非常必要的，也让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；

（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；

（3）图形的倒置展示让学生感受数学的对称美以及如何运用数学知识拼接出美丽的图案。

（三）公式理解和深化

公式一、Snn(a1an)

2问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？

教师活动：引导学生找出变量

学生活动：观察公式，找出变量。

活动预设：此公式中，共有四个变量：Sn,n,a1,an，可知三求一。

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【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。

问题2：此公式还可进行怎样的变形？

教师活动：引导学生从an下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。

学生活动：尝试对公式进行变形。

活动预设：公式二、Snna1n(n1)d

2【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。

问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？

教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。

学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。

活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：a1,n,d,an,Sn，可知三求二

（2）若已知an，优先选用公式一，若已知d，优先选用公式二。

【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。

（四）归纳总结，升华认知

问题1：通过本堂课的学习，你有哪些收获？

教师活动：鼓励学生积极回答，畅所欲言，再帮助学生将知识系统化。

学生活动：学生各抒己见，总结，谈体会

活动预设：（1）公式探究过程：特殊到一般，具体到抽象，感性到理性。

（2）根据已知合理选择公式，并能灵活应用公式的变形。

（3）数学思想方法和思维方法：倒序相加法，类比，文字语言与数学语言的等价转化，数学实际应用。

【设计意图】学会反思，及时归纳总结，通过独立思考，自我评价学习效果，发现问题、解决第8页，共12页

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问题，养成良好的反思习惯。

（五）课后作业：

1、（必做）教材习题3.3-2，3，5，6，7 2、（选做）

（1）已知f(x)1x123log2，若Snf()f()f()21xnnnf(n1),nN,n2，求Sn。

n（2）（03上海春招）设f(x)f(5)f(4)f(0)1，利用课本中推导等差数列前n项和的公式方法，可求得x22f(5)f(6)的值为 。

【设计意图】必做题旨在巩固“双基”，选做题主要针对学有余力的同学拓展能力，层次分明，有效地避免了学生“吃不了、吃不饱”的现象，也尊重了学生发展的个体差异性。

十、板书设计

一、等差数列前n项和：

3.3等差数列前n项和

Sna1a2an

四、例题及解答

（副板书）

二、公式的推导

方法一：分类讨论法

方法二：倒序相加法

三、深化公式

公式1、

公式2、

变形：

（主板书）

（辅助性板书）

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