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高中数学必修5（人教A 版）

第一章解三角形

1.1.1正弦定理

单

位：

瓜州县第一中学

授课人：

祁

全

武

2017年6月

《正弦定理》第一课时

一、教学内容解析

本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。

本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。

二、教学目标设置

《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。”

根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：

1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；

1

《正弦定理》第一课时

2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；

3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。

另外，学生通过亲身经历正弦定理的发现、验证、证明，体会“陌生的知识借助熟悉的知识处理”

转化化归的数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；通过自主探究、合作交流，亲身体验正弦定理的发现过程，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养；培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。

三、学生学情分析

1、学生具有的基础

本节课内容安排在高二上学期讲授，学生在初中已经学过平面几何的相关知识，并能够较为熟练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，在本章节的理解上不会有太大问题。

2、即将面临的问题

学生虽然有一定的观察分析和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，学生对解直角三角形熟悉，但是面对一般的解三角形问题，解决起来有一定难度。因此，我确定本节课的难点是借助熟知的解直角三角形知识生成正弦定理的过程。

3、难点突破技巧

在教学过程中，我特别注重提升学生的学习积极性，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起分析并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。

四、教学策略分析

本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下，让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发现的过程，形成思维。

2

《正弦定理》第一课时

五、教学过程

学习目标展示



1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；



2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；



3、初步熟知正弦定理的两个重要应用. 学习环节

（一）

实例引入

激发动机

学习目标

观察学生的解决问题的完成过程，并让学生分享展示结果，评价学生的转化化归能力，对后续证明的影响。

评价任务

获取学生解直角三角形的知识的掌握情况，评价学生设计方案的合理性。

学习活动

引例1：如图，设A、B两点在河的两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？

（学生发散思维，老师提问发言）

（老师追问）

引例2：如果测量人员任意选取C点，测出BC的距离是54m，设计意图

引例1：引导学生从熟知的直角三角形出发，解决实际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。

引例2：对于一般三角形，学生比较熟悉转化为直目标1 B45,C60.问根据这些数据能角三角形解决，转解决测量者的问题吗？

化化归的思想为后续正弦定理证明埋下伏笔。

3

《正弦定理》第一课时

学习环节

学习目标

目标1 评价任务

评价学生前后知识串联的熟练程度和对新问题的探究欲望。

学习活动

引例2数学模型：在ABC中，设计意图

培养学生数学BC54，B45,C60.求边长建模思维。

AB.

问题：再看这个数学问题，已知三角形的部分边长和内角，求其他边长和内角。这个问题其实是解斜三角形的边角关系问题。但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？

在新问题产生时，学生根据已有的知识是迷茫的，有疑惑的，这时也是产生知识缺陷，急需新知的时候，恰如其分的勾起了学生的求知欲。

从已有的知识结构出发，不让学生在思维上出现跳跃，逐层递进，通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点，再对特殊的斜三角形进行验证，过渡到一般的斜三

4 （一）

实例引入

激发动机

评价学生利用三角函数定义串联三边和三个内角数量关系是否准确合理。

探究一：直角三角形边角数量关系

（引导学生利用正弦函数定义，关键是引导学生把两个正弦等式（二）

实验探究

目标1 猜想证明

目标2 sinA

ab;sinB糅合在一起。）

cc探究二：斜三角形边角数量关系

实验1：如图，在等边ABC中，ABC3,对应边的边长a:b:c1:1:1，验证abc是否成立？

sinAsinBsinC

《正弦定理》第一课时

学习环节

学习目标

目标1 目标2

评价任务

评价学生实验的完成情况，和实验结果的准确性，对实验结果的认可。

评价展示过程，观察学生的感知情况，把握信息的情况。

学习活动

实验2：如图，在等腰ABC中，设计意图

角形边角关系的探究。让学生亲自体验数学实验探究的过程，逐层递进，体会数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。

AB30,C120，对应边的边长a:b:c1:1:3，验证abc是否成立？

sinAsinBsinC

实验3：借助多媒体动态演示，引导发现随着三角形的任意变换，（二）

实验探究

猜想证明

目标1 目标2 多媒体技术的引入演示，让学生更加直观感受到变换，加深理解。

abc、、的值相等。

sinAsinBsinC

猜想：通过这样的一些实验，我们可以猜想对于任意的斜三角型也存在这样的边角数量关系：

大胆猜想，激发学生探索未知世界的勇气。

经历猜想到证abc；

sinAsinBsinC

问题：但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？

明的过程，让学生体会到数学新知识的获得仅仅靠猜想

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《正弦定理》第一课时

学习环节

学习目标

目标1 目标2

评价任务

评价学生证明过程的展示，证明方法和解决思路的能力。

评价学生对生成概念的理解的准确程度。

概念生成：

学习活动

证明方法1——作高法和面积法

引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证明，学生展示证明过程，并用不同的方法进行说明。

设计意图

和演绎推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证明才可以。在这个过程中，也进一步促进学生数学思维品质的提升。

让学生加深对（二）

实验探究

目标1 猜想证明

目标1 目标2 展示正弦定理的定义：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理（law 正弦定理概念的准of sines），即在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即确理解

证明方法2——外接圆法

评价学生证

引导学生思考外接圆中直角的生多种方法的证明，拓宽学生思维，成，并进一步鼓励学生课下对其他证明方进一步加深对正弦法的搜集和整理。

定理的理解。

6 abc。

sinAsinBsinC明正弦定理的方法的掌握程度。

《正弦定理》第一课时

学习环节

学习目标

评价任务

评价学生正弦定理解决引例的情况，和前后不同解决方法对比的优越性。

学习活动

带领学生利用正弦定理解三角形，演示解题过程，解决引例中的疑问，引导学生对前后方法进行对比，体会正弦定理的应用。

借助解决过程给出定义：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图

让学生了解三角形的概念，形成知识的完备性。回过头来，解决引例中的问题，让学生体会学习正弦定理新知识解决实际问题的方便，激发学生不断探索新知识的欲望。

（三）

首尾呼应

目标1 解决引例

目标3

关注学生能够使用规范的数学语言和符号表述解题过程，能够顺利使用正弦定理，体现正弦定理的工具性。

评价学生利用正弦定理解决用

引导学生利用正弦定理解决例题并展示，教师展示规范的解题过程。

例1：在ABC中，已知A30

通过例题归纳出正弦定理在解三（四）

学以致用

目标1 归类总结

目标3 B45，a2,求C、b、c.。A30，

角形中的两个主要引导学生归纳正弦的第一个主要应应用，形成用正弦定理解三角形的思路，解决问题，提例2：在ABC中，已知升学习热情，体验解三角形。

学习乐趣。

a22，b23，A45，问题的掌握情况。

引导学生归纳正弦的第二个主要应用。

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《正弦定理》第一课时

学习环节

学习目标

目标1 目标3 评价任务

了解学生对正弦定理解三角形的理解深度，并引导后续的学习。

学习活动

问题：解三角形还有其他情况吗？如：已知两边和夹角。

设计意图

串联前后知识，形成知识串，激发学生后续学习的兴趣。

评价学生的分享内容，把握学生对所学知识的理解程度。

提问学生，总结分享收获：

通过学生的总结，突出本节课所学的知识和技能，提炼学习过程中渗透的数学思想方法，感受学习成功的喜悦。

有助于加深学生对本节课重点核心知识和数学思想方法的把握，提升学生的数学素养。

（五）

目标

1 总结升华

目标2 提升素养

目标3 1、正弦定理的其他证明方法；

2、通过以下题目，在已知三角形两条边和其中一条的对角的条件下探究三角形解的情况：

在ABC中，已知课堂的学习时间有限，课后的练习和探究除了能够加深对本节课重点知识的巩固，还可以让学生的学习延伸到课外，获取更多数学知识，培养学生探究的兴趣。

（六）

目标

1 布置作业

目标2 课下探究

目标3 关注学生作业的完成情况，进一步跟进学生的学习和思考。

A45,a6，b3，求B;

在ABC中，已知A45,a6，b3，求B; 21

在ABC中，已知A45,a，2b3，求B;

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