1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计实例

回归分析的基本思想及其初步应用

银川唐徕回民中学

李德民

一、

教学内容解析

回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．

本节课是人教A版高中数学教材选修1-2第一章第一节的内容，安排在数学必修3之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，用最小二乘法求线性回归方程、利用回归方程预报等内容．在本节开始借助微视频通过案例“女中学生的身高与体重的关系”回顾回归分析相关内容，从而引出了线性回归模型与学生熟悉的函数关系的不同之处，解释了随机误差项产生的原因，使学生正确理解回归方程预报值的意义．通过案例“红铃虫的产卵数和温度的关系”，让学生在图形计算器的统计模式下，经历整个知识的生成过程，得到三种不同的拟合模型，学会用残差平方和和相关指数R2来衡量不同模型拟合效果，体会统计方法的特点：统计学关心各种方法的适用范围，以寻求最有效的数据处理方法，以及统计思维与确定性思维的区别与联系. 在本节课的教学中，教师引导学生借助图形计算器，经历知识的生成过程，体会回归分析的核心思想，为今后进一步深造奠定了基础，同时培养了学生的动手能力．

二、教学目标

1．知识技能目标：

了解回归分析的基本思想；会建立回归模型，认识随机误差e；了解随机误差的效应即残差，了解残差平方和、残差分析的意义；了解相关指数的概念与作用．

2．过程方法目标：

（1）会使用图形计算器求回归方程；

（2）能正确理解回归方程的预报结果. 3．情感态度，价值观目标：

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中引导学生之间合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

三、教学重难点

重点：线性回归模型与函数模型的差异，衡量模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法．

难点：理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标．

四、教法与教具选择：

1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论.

2．教学手段：运用电子白板、多媒体、CASIO fx-CG20CN图形计算器.

3．理论根据：心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.”思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中．观察、归纳是发现知识、获得知识的基本思维形式，回归分析是统计学中的一个重要问题，在教学过程中，通过微视频、问题设疑、CASIO fx-CG20CN图形计算器实际操作等教学措施，创设问题情境，引导学生通过收集数据，画散点图，求回归方程，利用残差分析和相关指数衡量模型拟合效果等经历回归分析的整个过程．

五、教学过程

（一）、创设情景，导入新课

函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，在数学必修三中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，下面我们通过一个实际案例回忆一下相关内容．

微视频，学生随机测量本班八名女同学的身高和体重，画散点图，用最小二

乘法求回归系数，预测身高为172cm的女中学生体重为60.316kg．

问题1

身高为172cm的女中学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，这是由什么原因引起的呢？

学生思考讨论：不一定，体重不仅和身高有关系，还和遗传基因、饮食习惯、生长环境有关．

老师引导，借助散点图来分析，样本点散布在一条直线的附件，而不是在这条直线上，所以不能用一次函数ybxa来描述它们之间的关系．我们引入线性回归模型ybxae来表示，其中a和b为模型的未知参数，

e称为随机误差．这就是我们本节课要探究的内容．

（二）、启发诱导，探求规律

1、线性回归模型：ybxae

其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差．

注：线性回归模型中，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，称自变量x为解释变量，因变量y为预报变量。

问题2 产生随机误差项e的原因是什么？

学生思考回答：1、刚才同学提到的因素；2用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3测量时的观测误差。

2、残差分析

问题3 在线性回归模型中，e是用bxa预报真实值y的误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？

ˆ，我们称为残差. 随机误差的估计值eˆiyiyˆi

称为相应于点残差：数据点和它在回归直线上相应位置的差异exi,yi的残差.

残差平方和：把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：y)(y$iii1n2. 残差图：我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。

下图是以样本编号为横坐标的残差图。

残差86420-20-4-6-8编号246810系列1

问题4 从残差图中可以看出，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，我们称之为异常点，那么异常点产生的原因是什么？

学生思考回答：需要确认在采集过程中是否有人为的错误. 如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因. 问题5

我们回顾这个问题解决过程，思考建立回归模型的基本步骤是什么呢？

学生合作交流，师生共同完成：

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量. （2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）. （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）.

（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数.

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等）.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.

（三）、自我尝试、实践操作

例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程. 温度x/C

21

23

11

25

21

27

24

29

66

32

115

35

325 产卵数y/个

7 问题1：利用图形计算器统计模式，输入数据，画出散点图．

问题2：通过观察散点图，思考能用线性回归模型来近似的模拟该模型？如果不行可以用什么模型来模拟？

学生分组讨论、实践．

学生总结：从散点图中可以看到随着自变量x的增加，因变量y有增加的趋势，但它们明显不是线性关系．散点似乎分布在二次函数（yax2bxc）曲线或指数函数（yc1ec2x）的周围，因此我们可以试着用二次或指数函数模型来进行模拟．

问题3：在图形计算器统计模式利用自带模型求出回归方程．

学生：

利用一次模型: ybxa

利用二次模型：yax2bxc

利用指数模型: yebxa

问题4：探索如何衡量指数模型还是二次函数模型拟合效果更好？

学生分组讨论．

学生：我们可以类似方差的方法，考查预报值与真实值的距离．

教师：很好，我可以引入残差平方和(yiyi)2来观察拟合的效果，残差平方和i1n越小，则拟合效果越好．

函数模型

线性回归模型

二次函数模型

指数函数模型

残差平方和

3963.78955

796.738869

0.03273949

因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以指数模型拟合的效果最好．

问题5：探究相关指数R2的含义．

教师：我们进一步观察下面三个图的信息，你们有什么发现？

学生：我们知道：一次函数拟合效果、二次函数拟合效果、指数函数拟合效果，三个图表都含有r2的信息，而r2的值也越来越大，那么r2是什么？我们是否可以说r2越大拟合效果越好呢？

教师：对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数R21n(yi1ni1niyi)2（就是i(y2i1ny)2计算器里的r）来刻画回归的效果，残差平方和(yiyi)2从整体上描述了用估计量近似预报的效果，(yiyi)越小，说明模型的拟合效果越好；而(yiy)22i1i1n仅与样本数据有关，与所选用的模型无关．因此R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．

函数模型

线性回归模型

相关指数R2

0.7464

二次函数模型

0.9592

指数函数模型

0.9852

因为R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，所以指数模型拟合的效果最好．

（四）、知识拓展，探索无止境

我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的脚掌长度来预测他的身高……

我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据，试图寻找这些数据之间的规律……

还有研究发现人眼睛眉毛的浓密稀疏与是否双眼皮有关，你能寻找这两者之间的关系吗？

大家还可以查阅资料探索年份与我国GDP产值之间的相关关系，并且预测2014和2015我国的GDP产值。

在上述四个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的实践能力。

（五）、小结归纳，拓展深化

思考并回答以下几个问题，归纳本节课的内容. 1、函数模型与线性回归模型之间有何异同？

一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2、在本节课中，我们运用了哪些数学思想和方法？

函数思想、数形结合思想．注重数学教学中的思想性，它们是贯穿数学教学过程的“灵魂”．

3、多个模型，怎样知道哪个效果更好？

残差分析和相关指数． （六）、作业布置，提高升华

布置作业：在上述几个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的实践能力，最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准确．

[设计意图]

巩固新知识并培养应用意识，查缺补漏，以便调控教学，为今后的进一步深造和学习统计学打好基础和埋下伏笔。

（七）、板书设计

回归分析的基本思想及其基本应用

1、微视频知识回顾

2、衡量回归分析拟合效果的两个指标

引例

例1 残差

平方和

相关指数

总结提炼

多

媒

体

演

示

残差分析相关指数

3、实践操作确认

4、作业

八、教学评价和反思

本节我紧密围绕重点难点展开，注意突出了新课程、新标准对于学生观察、动手和创新能力的要求；课堂讲解深入浅出，通俗易懂，师生轻松愉快，配合默契；整堂课中运用了电子白板、图形计算器以及多媒体技术，通过图形计算器学生操作各种模型的拟合，能直观的了解可以用多种模型来模拟实际问题，感受统计学的真正意义所在．一改传统教学在本节内容的照本宣科，让学生在实践中，开阔学生的思路，培养学生的探索和创新精神．符合教材的实际，做到生动、活泼，易激发学生的兴趣，调动学生的求知欲，并让学生体会到数学的实际价值。熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计让更多的学生主动参与，师生对话实现师生合作，适度的讨论促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决让学生感受到成功的喜悦，.我想通过这样的课堂设计应该能达到了课前所设计的教学目标。

若有不当之处恳请各位同行，专家批评指正．谢谢!