1.1 回归分析的基本思想及其初步应用名师教学实录

教学设计

一、教学目标

【知识与技能】

了解线性回归模型与函数模型的区别；

正确理解回归方程的预报结果；

能从残差分析和相关指数R2的角度分析回归模型的拟合效果。

【过程与方法】

在对典型案例探究过程中，学会借助计算机中的Excel软件处理数据及作图，充分经历“做数学”的过程。

【情感、态度与价值观】

通过对典型案例的探究，进一步体会回归分析的基本思想，了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活”，提高学习兴趣。经历数据处理的全过程，培养对数据的直观感觉，养成科学严谨、认真仔细的学习态度，同时也不断增强应用现代化技术手段处理数据的能力。

二、教学重、难点

【重点】

了解回归模型和函数模型的区别；

了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数R2。

【难点】

解释、分析残差变量；理解R2的含义. 三、教学过程

（一）知识链接

1、两个变量间的关系分为：__________、__________、_________. 2、如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_________，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系. 3、回归分析的步骤：

①_______________②_______________③______________ ˆ是待定参数) 4、求回归直线方程：____________________(其中aˆ,b由最小二乘法公式得：

nn(xix)(yiy)xiyinxyi1ˆi1,bnn222(xx)xiinxi1i1ˆ_________________________a

5、回归直线方程恒过点__________________. 【设计意图】课前通过智慧课堂平台给学生分享一个微视频，并要求结合微视频完成学案上的知识链接。课上，学生对照课件自主订正。目的是通过有效的复习回顾，为本节课的学习打下坚实的基础。

（二）

情境引入

1、观看一段新闻报道——广东省紫金县多人感染丙肝事件. 2、从高二9、10班的所有女生中随机选取8名，其身高和体重数据如下表：

编号

身高/cm 体重/kg 1 166 50 2 167 58 3 178 70 4 157 45 5 165 52 6 170 55 7 159 47 8 167 55 求根据女生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为160cm的女生的体重.

【设计意图】短视频的链接是为了引入课题，同时也能有效的激发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习热情。但由于目前无法得到该事件的有关数据，因此引导学生采用相同的思想和方法来研究学生自己身边的问题。基于上述分析和考虑，对教材中的典型案例做适当的调整和改动。在此之前，学生在必修3《统计》一章中学习了线性回归方程的有关知识，所以要求学生课前以小组为单位，借助于计算机进行研究，课上请学生进行成果交流和展示。

（三）探究新知

问题1：身高为160cm的女生的体重一定是47.036kg吗？为什么？

问题2：能不能用一次函数模型ybxa准确描述身高与体重的关系？如果不能，该用什么模型来刻画？

线性回归模型：

y______________，其中______和______是模型的未知参数，________称为随机误差.自变量x称为__________,因变量y称为___________

【设计意图】问题1是让学生理解回归分析的作用——预报或决策；问题2是在前一个问题的基础上引起学生的认知冲突，从而引入本节课重点——建立线性回归模型。问题的设置也能体现学生理解统计思想的三个层次，由“这样做”到“为什么这样做”再到“如何才能做的更好”。

问题3：一次函数模型与线性回归模型有什么区别？

问题4：在线性回归模型中，随机误差e是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？

残差：

样本点xn,yn（其中nN）的随机误差ei_________________，ˆiyiyˆi______________，eˆi称为相应点xi,yi的残其估计值为e差.

问题5：8位女生体重的预测值及相对应的残差是多少？

编号

1 166 50

2 167 58

3 178 70

4 157 45

5 165 52

6 170 55

7 159 47

8 167 55

x y ˆ

yˆ

e【设计意图】通过引导学生将一次函数模型与线性回归模型进行对比分析，从而找出认知冲突，为信息交流和新知建构做好准备。为加深学生对残差概念的理解，要求学生以小组为单位，借助于电脑中的Excel软件来计算引例中8位女生体重的残差，从而为接下来分析残差数据，作残差图，以及利用残差分析模型拟合效果做好铺垫。

问题6：通过残差，能发现什么信息？

线性回归分析：

1、残差分析

（1）残差图：作图时，纵坐标为__________,横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图. （2）残差图的作用：

①___________________________________；

②____________________________________. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较适合.这样的带状区域宽度越窄，说明拟合精度__________，回归方程的预报精度__________. 【设计意图】在对引例探究过程中，让学生借助于计算机中的Excel软件对数据进行处理、分析并作图，既能有效地解决教学中的难点问题，取得事半功倍的效果，同时，学生自己动手操作，培养了他们动手能力，提高了信息技术的素养，激发起更浓厚的学习兴趣。

2、相关指数R

（1）计算公式：R2=_______________________________；

（2）回归分析：

R2越大，残差平方和yiyˆii1n2n22越_____，即模型的拟合效果________；

R2越小，残差平方和yiy即模型的拟合效果________. ˆi越_____，i1在线性回归模型中，R2的取值范围为________________，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近与_________，表示回归的效果越好. 【设计意图】引导学生从“数”的角度分析回归效果，体会数学中“数形结合”的重要性。另外，还将引导学生用相关指数来刻画引例中“身

高对体重变化的贡献率”。

（四）学以致用

关于x与y有如下数据：

x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：ˆ6.5x17.5 , yˆ7x17. y试比较哪一个模型拟合的效果更好.

【设计意图】此题采取小组间分工合作方式完成，这样既巩固本节课所学内容，同时培养了学生的合作意识。

（五）课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获、心得、体会？

【设计意图】引导学生从知识、方法、心得或体会三方面梳理总结，积累经验，感受收获的喜悦。

（六）自我检测

1、已知变量x与y正相关，且由观测数据算的样本平均数

x3,y3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（

）

ˆ0.4x2.3 B.yˆ2x2.4 A.y

ˆ2x9.5 D.yˆ0.3x4.4C.y2、甲、乙、丙、丁4为同学建立变量x的回归模型时，分别选择了

4种不同的模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：

R2

甲

0.98 乙

0.78 丙

0.50 丁

0.85

哪位同学建立的回归模型的拟合效果最好？（

）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

3、在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)(n2,x1,x2,L,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点(xi,yi)(i1,2,Ln)都在直线y则这组样本的相关指数为_______. 【设计意图】通过自我检测，反馈教学效果，使接下来的教学有的放矢。

1x+1上，2