信息技术应用 估计√2的值教学设计第二课时

等差数列的性质（教师版）

授课人：

施敏仪

一、学习目标

1、根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；

2、能运用等差数列的性质解决相关问题。

二、不忘初心，学了什么？（3分钟）

1、已知等差数列an中，首项a1及公差d，则an

a1(n1)d

已知等差数列an的am和d，则an

am(nm)d

anpnq(p,q为常数,nN*)an是等差数列。其中公差是p，首项为pq.（如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列一定是等差数列）

2、等差中项：若三个数a,A,b构成等差数列，则A叫做a,b的

等差中项

，并且A

3、判断等差数列的常用方法：

（1）

an1andnN* （2）

2an1anan2nN* （3）

anknbk,b为常数,nN* 教师活动：让学生提前在黑板写好复习内容，上课时和同学们简单复习一下。教师提醒学生注意：证明一个数列是等差数列，要用第（1）或（2）。

三、学以致用，课前自证，获得新知（5分钟）

ab 2bn为等差数列，bn3n1，

问题1 若数列an，且an2n1，则数列3an2，a2n，anbn是等差数列吗？若是，请证明。

问题2

一般的，若数列an，bn为等差数列，其首项分别是a1,b1，公差为d,d，,a3n1,anbn,anbn呢，其中p,q为常数？如果是，则panq是等差数列吗？a2n请证明并请写出其首项和公差？

数列

是否为等差数列？

是

是

是

是

是

首项

公差

panq

a2n

a3n1

anbn

anbn

pa1q

a2

a2

a1b1

a1b1

pd

2d

3d

dd

dd

教师活动：学生课前提前证明几个具体的数列为等差数列，轮学号课前把证明过程写好在黑板，老师简单点评，并提出一般情况下的，两个等差数列对应项的和（或差）构造的新

的数列是等差数列。一个等差数列各项分别于同一个常数的和（或积）构造的新数列是等差数列。等差数列的奇（或偶）数项构造的新数列是等差数列。若等差数列中项的下标差相等，则这些项按原来的顺序仍为等差数列。

设计意图：上一节课已经学习了等差数列，并学会证明等差数列。因此在上节课课后，布置这一系列的等差数列的证明练习，延伸到本节课中的等差数列的其中一个性质去，起着承上启下的作用。

练习1：（3分钟）

（课本P39 3）等差数列an的首项为a，公差为d，等差数列bn的首项为b，公差为e。如果cnanbnn1，且c14，c28，求数列cn的通项公式。

解：由等差数列性质可知：数列cn为等差数列

c14，c28，d4

四、继续前行，合作探究

游戏：等值取卡（5分钟）

道具：按顺序排列的系列卡片，其正面是项：

cnc1(n1)d44n14n

2,5,8,11,14,17,20,23,26,29

反面是项数：

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10

游戏规则：教师随机从中选取两项，请学生选两项，要求学生能够实现：自己手中的两张卡片上的数字之和（项和）等于教师手中两张卡片的数字之和（项和）。

教师活动：配合一个swf，教师先去两张卡片，让两个学生任意取两张卡片，使得教师手上的两张卡片的数字之和等于学生手上的数字之和。再引导学生取一张卡片，使得这张卡片的数字的两倍等于教师手上两个卡片的数字之和。再让学生发现其项数之间的关系。

设计意图：通过游戏让学生发现“下标和”定理，激发学生的学习兴趣。

问题3：从游戏中获得的数学猜想：（2分钟）

（1）

（2）

答案：（1）在等差数列an中，若mnpq(m,m,p,qN)，则amanapaq。*（2）在等差数列an中，若mn2s(m,m,sN)，则aman2as。

*

问题4：如何证明？（5分钟）

证明：（1）ama1(m1)d，ana1(n1)d，

则amana1(m1)da1(n1)d2a1mn2d

apa1(p1)d，

aqa1(q1)d

则apaqa1(p1)da1(q1)d2a1pq2d

mnpq

，

aaaa

mnpq（2）由（1）可得，令ps,qs，则mnpq2s

amanapaqasas2as

总结：“下标和定理”：在等差数列an中，若mnpq(m,m,p,qN)，则*amanapaq。

注意公式特征：两项之和相等

特别地：在等差数列an中，若mn2s(m,m,sN)，则aman2as。

*教师活动：让学生证明结果。

练习2：若数列an是等差数列，根据条件解下列各题：（5分钟）

,a85，则a6a7

；

（1）若a511,a85，则a13

；

（2）若a511（3）若a35，则a1a5

；

（4）若a2a3a10a1136，则a5a8

；

（5）若a1a2a324，a18a19a2078，则a1a20

答案：（1）16；（2）5；（3）10；（4）18；（5）18

教师活动：让学生自主完成练习，并说出答案。

设计意图：（1）（3）（4）（5）小题主要是等差数列性质的简单应用，（2）小题主要是防止学生在使用“下标和”定理时，出现a13a5a8，这样的错误，提醒学生在使用“下标和”定理时注意左右两边项数相等。

问题5：“下标和定理”反映了等差数列下表和相等的两项和的关系，你能发现三项和的关系吗？请同桌之间互相讨论，探究并交流自己的猜想。

结果参考：

（1）当mnpstqm,n,p,q,s,tN时，amanapasataq；

（2）当mnp3sm,n,pN时，amanap3as；

（3）当mnps2tm,n,p,s,tN时，amanapas2at。

***

教师活动：让学生讨论说出结论。

设计意图：对“下标和”定理进行推广。

问题6：如何证明？（3分钟）

教师活动：让学生对（1）进行证明，在问题2的基础上修改即可。

练习3：（5分钟）

（1）若a3a5a10a2a7ak，则k

；

（2）若a3a5a10a42ak，则k

；

（3）若a35，则a12a4

；

（4）已知函数fnknbk0,nN*，f35，f511，则f1f2f7 ；2f2f7 。

答案：（1）k9；（2）k7；（3）15。（4）56；21

教师活动：让学生自主练习，教师点评。

设计意图：（1）（2）（3）是对结论的简单运用，（4）与一次函数结合，学生可能会出现两种做法。一是根据条件算出k,b，再算出所求的式子的值。而是根据等差数列通项公式和一次函数的关系，用等差数列的“下标和”性质去解决此问题。（4）第一问也对后续推导等差数列求和公式时使用的倒序相加法做了铺垫。

五、勤于总结，方得始终

,a3n1,anbn,anbn是1、若数列an，bn为等差数列，则panq，a2n等差数列。

2、下标和定理：

（1）在等差数列an中，若mnpq(m,m,p,qN)，则amanapaq。

*（2）在等差数列an中，若mn2s(m,m,sN)，则aman2as。

*注意：使用下标和定理时，左右两边的项数要相等！