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《双曲线及其标准方程》教学设计

南宁市第三十三中学 赵紫霞

课题：双曲线及其标准方程

【教材内容分析】

本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握.

【学情分析】

知识结构分析：

学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系. 能力体系分析：

本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力. 【教学目标】

通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；

通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；

通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣. 【教学重点】

双曲线的定义；

双曲线标准方程的两种形式. 【教学难点】

双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】

多媒体投影仪，几何画板动画

【教学方法】

采用启发、探究式教学. 【教学环节】

教学环

节

(一) 创

设

情

境

，

感

知

图

形

教学内容

回顾初中时学习过的反比例函数的图像；

观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分.

教师引入，学生回忆初中所学内容；

多媒体展示图片，学生观察，实物感知双曲线的形状. 教师引入课题，告知学生本节课的学习目标、学习重点和学习难点.这一段可由一名学生代表阅读.

师生活动

通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简单、生动，学生易于接受.

设计意图

(二) 动

画

演

示

，

引

入

定

义

双曲线是如何形成的？可以如何给双曲线下定义？借助经典的拉链动画，引导学生总结动点在运动过程中的特征，从而引入双曲线的定义.

教师手动演示双曲线的形成过

程，先演示靠近F2的一支，由学生总结动点特征: 充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力. 学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。

保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻. MF.

1MF2常数并解释为什么有这样的特征:随着拉链的闭拢和拉开，两条线段减小或增加的量相等，所以差值始终是同一个常数. 再演示靠近F1的那一支，仍然由学生总结特征: MF2MF.

1常数接着，强调以上两个常数是相等的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个式子合二为一:MF1MF2常数.

并把数学式子转化成自然语

言，概述双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲

线.(此处暂时不说常数的范围.)

教学环

节

(三) 剖

析

定

义

，

夯

实

基

础

教学内容

剖析定义中的要点：

①“平面内”三个字容易漏掉，去掉后不严谨；

②由学生发现“绝对值”三个字的重要性；

③常数是不是像椭圆中一样有范围限制？如果有的话，是什么？为什么？

刚才给出定义时没有加上常数的范围，定义叙述不完整，所以现在要对定义进行补充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为：

平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的

师生活动

第一点教师做提醒；

第二点要点拨学生去掉“绝对值”三个字后点的轨迹会是什么，学生慎重考虑后应该能够找到正确答案:去掉绝对值后轨迹变成了双曲线的一支.之后教师提醒学生做题时需注意这一点；

第三点由学生分组去讨论，然后派代表说明本组的讨论结果，直至解决问题,得到结论：

①常数等于F1F2时，点的轨迹是直线F1F2上以F1、F2为端点向外的两条射线；

②常数大于F1F2时，点的轨迹不存在；

③常数等于0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

以双曲线和椭圆作比较，两类曲线中a和c的大小关系不同，在椭圆中，ac0,而在双曲线中，ca0.要提醒学生注意.

设计意图

学生的表达往往不严谨，“平面内”这三个字是很容易被忽略的，所以教师要强调.第二点学生略作思考，就能够意识到这三个字的重要性；第三点对学生而言最为困难，如果强硬给出的话，学生被动接受，不利于学生的理解和掌握，所以我采取小组讨论的做法，由学生自己得出范围，加深学生对范围的理解. 轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，焦距用2c表示，常数用2a表示，显然这里有2c2a0.

(四) 类

比

椭

圆

，

推

导

方

程

学生刚刚学习过椭圆，对椭回顾椭圆的标准方圆的标准方程的推导过程印程的推导步骤，推导象比较深刻，用同样的步骤推双曲线的标准方程. 导双曲线的标准方程：

标准方程为

①建系

x2y2以直线F1F2为x轴，线段21.2

ab 其中a0,b0.

F1F2的垂直平分线为y轴建

立平面直角坐标系.

②设点

设双曲线上任意一点M坐

标为(x,y)，焦距为2c,则

F1(c,0),F2(c,0).常数记为 椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程2a.

在推导时也可以换一③写出限制条件

种建系方式，得到另MF1MF22a.

一种形式的方程：

培养学生的④列出等式

运算能力. y2x2 通过双曲 221.

2222(xa)y(xa)y2a.ab线与椭圆的对 ⑤化简这一步由学生自己比，学生可以 其中a0,b0.

动手完成，并且找一个学生演加深对两种曲板，最终化简为

线的理解. 2y2

x1

a2c2a2 像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合

两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？

学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上.这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调. ca0,可设c2a2b2,其中b0(意义讲性质时再涉及).于是双曲线的方程可化x2y2为221.这就是焦点在abx轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0).

双曲线与椭圆标准方程中a、b、c的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方.

(五)

例

题

讲

解

，

学

以

致

用

例1、已知双曲线

的焦点F1(5,0),F2

(5,0),双曲线上一点例1难度系数不大，给学到两焦点的距离之差生适当的时间，自己去做，的绝对值等于8，求一般情况下学生会在练习本双曲线的标准方程. 上直接写出本题的正确答 对例题的条件进行案，所以教师要通过投影给修改，得到如下三个出规范的解题步骤. 变式训练：

三个变式均是对定义的考查，如果学生对定义中的要1、已知F1(0,5),F2

点理解到位，就可以顺利地把三个变式求解出来. (0,5),动点P满足

教师要强调双曲线的一支方程和变式训练3中两条射PF1PF28.求点线的方程应如何表示，这是P的轨迹方程. 易错点.

2、已知F1(5,0),F2

(5,0),动点P满足

例2较之例1难度略大，求点PFPF8.12计算量也稍大，所以要给学P的轨迹方程. 生充分的思考时间.这道题由两个学生演板，一般情况3、已知F1(5,0),F2

下学生会利用c6和双曲线(5,0),动点P满足

过点M(2,5)列方程求解，这一方法思路自然，运算较繁；有些数学程度较好并且善于思考的同学会想到利用定义求PF1PF210.点P的轨迹方程.

求出MF1MF2,即2a，

例2、已知双曲线再利用c6即可求出b,从而的焦点F1(0,6),F2

双曲线的方程得以求出，这一方法相对来讲计算量较(0,6),且经过点M

小，而且紧扣本节课的学习重点.要给学生强调定义的(2,5).求双曲线的标重要性. 准方程.

本节课的重点就是双曲线的定义及标准方程，而定义中的要点一是绝对值，二是常数的范围，设计例1就是要使学生正确把握定义，正确理解定义.

例2让学生演板，体现了学生在课堂上的主体作用，两种方法的对比会让学生明白解题时技巧的重要性，从而引导学生在日常学习中一定要多动脑思考，不止为做题而做题，一道题目有多种解法时，可权衡一下哪一种解法更有利于节省时间，提高效率.

(六)

课

堂

练

习

，

沙

场

练

兵

1、已知双曲线的焦

点在坐标轴上，

a7,b3.则双曲线

的标准方程为 .

2、过双曲线

x2y21左焦点 教师通过投影打出三道题43目，学生自己审题，动手计算.然后教师提问学生回答F1的直线交双曲线自己计算得到的答案: 的左支于M、N两x2y21或

1、点，F2为其右焦点，499MF2NF2MN的值等于 . 3、在ABC中，B

2、8. (4,0),C(4,0),动点A满足sinBsinC

1sinA.则动点A2的轨迹方程为

.

y2x21.

499

学生动手去做，通过学生的做题状况教师能够看出学生对本节课知识点的掌握情况，三道练习题由浅入深，层层深入，使学生体会到学习的快乐和收获. 第3题稍有难度，用到了正弦定理，有些学生可能会不明白为什么要有x2,这一点涉及到双曲线的性质，正好为学习双曲线的性质做铺垫. x2y21(x2).

3、412(七)

课

堂

小

结

，

整

理

收

获

请同学们回顾本节课我们所学习的主要内容. 由学生自己总结本节课的收获：

①双曲线的定义；

②双曲线的标准方程的两种形式；

③双曲线标准方程的求解方法.

学生叙述不完整或不准确的地方，教师予以补充或纠正，同时提醒学生要牢记定义.

学生总结，加深理解，印象深刻，形成学生自己的认知结构.突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力.

(八)

课

后

作

业

，

及

时

反

馈

附：

板

书

设

计

课本第48页练习1、2；

课本第54页习题2.2A组1、2；

自己动手制作表格，列出椭圆与双曲线的区别和联系.

投

影

仪

大

屏

幕

课下独立完成，同学之间交流

检验学生课内的掌握情况，并让学生明白，学习不仅仅是课堂上的事，课下的时间自己要合理支配，科学安排. 双曲线及其标准方程

一、双曲线的定义 学生演板：

MF. 双曲线标准方程的推导

1MF2常数MF2MF.

1常数即MF1MF2常数. 学生演板（两名学生）：

二、双曲线的标准方程 例2的求解过程

22xy 1.22aby2x2 221.

ab其中，a0,b0.

【教后心得】

本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化，可以说，任何一个有几年教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要花费很大功夫.本节课我自认为有可取之处，简述如下：

①课堂效果不错，学生热情高涨，能积极主动地思考并回答问题，和老师配合得很好；

②在讲解定义的过程中，我采用了暂时保留常数取值范围的做法，由学生自己讨论得出，而并非教师生硬的给出，学生被动接受，这样学生的学习效果更好；

③问题的设计环环相扣，吸引学生动脑思考；例题基本上全靠学生动手去做，学生在自己解决问题的过程中能够发现问题，及时解决，充分体现了学生在课堂上的主体作用. 当然，这节课肯定有不足之处，希望能得到各位前辈的指点，我会在探索中逐渐成长，在成长中不断进步，完善自己，为河南省乃至全国的教育事业贡献绵薄之力！最后，感谢各位评委耐心地读完我的教学设计，谢谢！你们辛苦了！