复习参考题课件配套优秀公开课教案设计

第2讲

数列的求和及综合应用（二课时）

高考定位

1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真

题

感

悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. an(1)求{an}的通项公式；(2)求数列2n＋1的前n项和.

2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bn的前ann项和Tn.

第一课时

考

点

整

合

1.数列求和

(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加1

c抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如aa(其中{an}是各项均不为nn＋1零的等差数列，c为常数)的数列. 温馨提醒

(1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. S1，n＝1，(2)an＝忽略n≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验. Sn－Sn－1，n≥2，2.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.

热点一

数列的求和问题

命题角度1

分组转化求和

n2＋n【例1－1】

(2017·郑州质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝2，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.

探究提高

1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 命题角度2

裂项相消法求和

2【例1－2】

(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1，求数列{bn}的前n项和. anan＋12

探究提高

1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练1】

(2017·昆明诊断)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝2，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；

an(3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和为Tn. bnbn＋1

命题角度3

错位相减求和

【例1－3】

(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).

探究提高

1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 3

【训练2】

(2017·衡阳模拟)已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an＋2log2bn＝－1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 作业

1．各项均为正数的等比数列，前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．

2．已知数列an满足a11,an13an，数列bn满足b13,b26，且{bnan}为等差数列.

（Ⅰ）求数列an和bn的通项公式;（Ⅱ）求数列bn的前n和Tn

3. 数列{an}满足a11,nan1(n1)ann(n1),nN*. （1）证明：数列{an}是等差数列；（2）若Tna1a2a3a4(1)n1an，求T20. n4.设Sn为各项不相等的等差数列an的前n项和，已知a3a53a7,S39．

（1）求数列an通项公式；（2）设Tn为数列1Tnn的前项和，求的最大值

aaa1nn1n5．已知an是等差数列，bn是等比数列，其中a1b11，a2b3a4，a3b4a7. （Ⅰ）求数列an与bn的通项公式；

（Ⅱ）记cn1a1a2Lanb1b2Lbn，求数列cn的前n项和Sn

n

第二课时

热点二

an与Sn的关系问题

【例2】

(2017·济南模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有bn＋1an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝. TnTn＋1(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 4

探究提高

1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列. 【训练3】

(2017·梅州质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－为等差数列，且a1＝b1，a2(b2－b1)＝a1. bn(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝a，求数列{cn}的前n项和Tn. n2n－1，{bn}1

热点三

数列与函数、不等式的综合问题

【例3】

(2017·惠州三调)在数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.

探究提高

1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理. 【训练4】

(2017·长郡中学联考)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an. (1)证明数列{an＋1－an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

1111(2)设bn＝log2(an＋1)，{bn}的前n项和为Sn，求证：S＋S＋S＋…＋S<2. 123n5

1.错位相减法的关注点

(1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项得到的数列{an·bn}求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{bn}的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式. 2.裂项求和的常见技巧

(1)1111111＝n－.(2)＝kn－n＋k. n（n＋1）n＋1n（n＋k）11111111－－(3)2＝2n－1n＋1.(4)2＝22n－12n＋1. n－14n－13.数列与不等式综合问题

(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；

(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.

作业

1.设数列满足．

（1）

求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和

2.设正项数列an的前n项和为Sn，已知Sn，an1，4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn11，设bn的前n项和为Tn，求证：Tn2

anan13．已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*,a35,S10100．

（1）求数列an的通项公式；

6

（2）设，

求数列bn的前n项和Tn

4. 已知数列{an}满足a11，an1an2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn2bn. （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cnanbn，求数列{cn}的前n项和Tn

5．已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S39，

a1,a3,a7成等比数列. （1）求数列an的通项公式；

（2）若数列bn满足bnan12，求数列bn的前n项和Tn. n6. 已知数列an的前n项和为Sn，向量a(Sn,2)，b(1,12n)满足条件a⊥b

n，求数列cn的前n项和Tn

an（1）求数列an的通项公式；（2）设cn7

一、选择题

11111.已知数列12，34，58，716，…，则其前n项和Sn为(

) 1A.n2＋1－2n

1C.n2＋1－n－1

21解析

an＝(2n－1)＋2n，

111－2nn（1＋2n－1）221∴Sn＝＋＝n＋1－212n. 1－2答案

A 2.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

1B.n2＋2－2n

D.n2＋2－2n－1

1解析

由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5，反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件. 答案

C 3.(2017·沈阳二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(

) A.9

C.18

B.15 D.30 解析

∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴数列{an}是公差为2的等差数列. ∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. n（－5＋2n－7）2数列{an}的前n项和Sn＝＝n－6n. 27令an＝2n－7≥0，解得n≥2. ∴n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an. 8

则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝

S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案

C 4.(2017·衡水中学月考)数列an＝19，其前n项之和为10，则在平面直角n（n＋1）坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(

) A.－10

C.10

111解析

由于an＝＝－. n（n＋1）nn＋1111111∴Sn＝1－2＋2－3＋…＋n－n＋1＝1－. n＋1因此1－19＝10，所以n＝9. n＋1B.－9

D.9 所以直线方程为10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9. 答案

B 5.(2017·湘潭三模)已知2n＋1Tn为数列n的前2n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(

) A.1 026

C.1 024

2n＋11解析

∵2n＝1＋2n，

111－2n21∴Tn＝n＋＝n＋1－12n，

1－211∴T10＋1 013＝11－210＋1 013＝1 024－210，

又m>T10＋1 013，

∴整数m的最小值为1 024. 答案

C 二、填空题

9

B.1 025

D.1 023

6.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析

因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，

所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝2＋22＋23＋…＋2n－n

2（1－2n）＝－n

1－2＝2n＋1－n－2. 答案

2n＋1－n－2 7.(2017·潮州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝an＋1，则b1＋b2＋…＋bn＝________. SnSn＋1解析

易知数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，

2（1－3n）n所以Sn＝＝3－1. 1－3an＋1Sn＋1－Sn11又bn＝＝＝S－，

SnSn＋1SnSn＋1nSn＋1111111－则b1＋b2＋…＋bn＝S－S＋S－S＋…＋SS

1223nn＋11111＝S－＝2－n＋1. 3－11Sn＋111答案

2－n＋1

3－118.设向量a＝(1，2)，b＝n2＋n，an(n∈N*)，若a∥b，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为________. 11解析

因为向量a＝(1，2)，b＝n2＋n，an(n∈N*)，a∥b，所以1·an－2·2n＋n＝0，

121－即an＝2＝2nn＋1，

n＋n从而数列{an}的前n项和为

10

111111111Sn＝21－2＋2－3＋…＋n－1－n＋n－n＋1＝21－n＋1

易知{Sn}是单调递增数列. 1∴当n＝1时，Sn取得最小值21－2＝1. 答案

1 三、解答题

9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解

(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意有

a＝1，12a1＋5d＝4，解得2

a＋5d＝3.d＝5.12n＋3所以{an}的通项公式为an＝5. 2n＋3. (2)由(1)知，bn＝52n＋3当n＝1，2，3时，1≤5<2，bn＝1；

当n＝4，5时，2≤2n＋35<3，bn＝2；

2n＋35<4，bn＝3；

当n＝6，7，8时，3≤2n＋3当n＝9，10时，4≤5<5，bn＝4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10.(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式；

（an＋1）n＋1(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. （bn＋2）n11

解

(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式. 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d，

a1＝b1＋b2，11＝2b1＋d，由即

a＝b＋b，17＝2b＋3d，2231b1＝4，可解得所以bn＝3n＋1. d＝3.（6n＋6）n＋1＋(2)由(1)知cn＝2n1.，

n＝3(n＋1)·（3n＋3）又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]. 两式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] 4（1－2n）－（n＋1）×2n＋2＝－3n·＝3×4＋2n＋2. 1－2所以Tn＝3n·2n＋2. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)＝3x2－2x的图象上. (1)求数列{an}的通项公式. 3(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得2Tn≤λ－2 015对任意n∈N*anan＋1都成立的实数λ的取值范围. 解

(1)因为点(n，Sn)均在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，所以Sn＝3n2－2n. 当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 又a1＝1也满足an＝6n－5，

所以an＝6n－5(n∈N*). (2)因为bn＝33＝

anan＋1（6n－5）[6（n＋1）－5]12

111＝26n－5－6n＋1，

111111－1－－

所以Tn＝27＋713＋…＋6n－56n＋1113n1－＝2＝6n＋16n＋1，

6n1所以2Tn＝＝1－<1. 6n＋16n＋1又2Tn≤λ－2 015对任意n∈N*都成立，

所以1≤λ－2 015，即λ≥2 016. 故实数λ的取值范围是[2 016，＋∞).

13