3.1 数系的扩充优质课一等奖

课题：数系的扩充

授课教师：李晓波

教材：苏教版选修2-2第三章第一节

【教材分析】

教材地位和作用：

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.

教材处理办法：

精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.

重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.

【教学目标】

知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.

能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.

情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.

【教学方法】

教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.

学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.

教学手段：结合多媒体教学环境，构建学生自主探究的教学平台.

【教学程序】

以问题为载体，以学生活动为主线.

创设情境建构数学知识运用归纳总结巩固作业

一、创设情境：

首先提出问题，让学生回顾学过的数集，并让学生对它们的来由产生兴趣，通过0、分数、无理数由来让学生对数系的扩充有一定的了解，同时，提出数集能否进一步扩充，从而点出本课的课题。

二、建构数学：

1．引入虚数

①利用卡尔丹的问题：要把10分成两部分，使二者乘积为40。让学生尝试解答，讨论说明不存在这样的实数。

②历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘

1

积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”

10515515 40515515

15能作为“数”吗？它表示什么意义呢？

③1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即

“虚的数”与“实数”相对应．

④1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足：

i数单位．

2.复数的规定：

引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

（1）i221，且称为虚2（说明i是方程的x10的一个根）

1；（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍成立．

3．复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，用字母C表示，a叫复数的实部，b叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集．

4.认识复数集

提出问题：复数集和实数集有什么关系？

师生互动：对于复数zabi(a,bR)，当且仅当b=0时，z是实数a；当b≠0时，z叫做虚数；特别地，当a=0且b≠0时，z叫做纯虚数．

点评：（1）实数集是复数集的真子集，即RC．

（2）引入虚数后，实数和虚数合称为复数，数系又由实数集扩充为复数集了．

练习：给出下列命题：（1）自然数是非负整数集；（2）实数集与复数集的交集为实数集；（3）实数集与虚数集的交集为{0}；（4）纯虚数集与实数集的交集为空集。其中假命题的序号有： 思考：你能用韦恩图表示我们学过的各个集合间的关系么？

三、数学运用

1．理解概念：

对话1、写出复数4，2－3i，0，－14＋i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是23实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

2

变式、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部？

2＋7，0.618，2i，

0，i2，i(1－3)，3－92i，5 i＋8

7

2．简单应用：

对话2、实数m取什么数值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

变式、实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

反思1：a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？

反思2：对话1中，实数m取什么值时，复数z是6+2 i ?（引出复数相等的充要条件）

3．复数相等问题

引导学生由反思2得出两个复数相等的充要条件．

复数相等的充要条件：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然．即：

ac．

a,b,c,dR，abicdibd

3

对话3、已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．

变式、若(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，求x的值．

四、巩固练习

书P67第1，2，3，6题．

五、归纳总结：

1、数系的扩充

2、复数的基本概念

3、复数相等的充要条件

【板书设计】

规定：（1）（2）数系的扩充

例3解：由两复数相等的充要xy2x5条件，可得,x2y3xyx3解得.y2复数zabi(a,bR),复数集：C实部：a；虚部：b实数(b0)复数虚数(b0)(a0时是纯虚数)acabicdi(a,b,c,dR)bd

4

【教学设计说明】

一、确定教学目标的主要依据

(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标；

(2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；

(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.

重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念. 难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.

二、教学的过程设计说明

1、情境引入

激发学生学习兴趣，引入新课.设计了从N到R的三次扩充历程的回顾，在面对求解“要把10分成两部分，使二者乘积为40”的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法. 2、新课推进

从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线. 3、例题讲解及练习

掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.

4、课堂小结与作业

对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.

三、板书设计说明

合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映. 本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.

5