3.1 数系的扩充教学设计及说课稿

第2课时

复数的乘方与除法

1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点) 2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) 3.了解i幂的周期性.(易错点)

[基础·初探] 教材整理

复数的乘方与除法

阅读教材P71～P73“练习”以上部分，完成下列问题. 1.复数的乘方与in(n∈N*)的周期性

(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质

nn设对任何z∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝z1z2. (2)虚数单位in(n∈N*)的周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝-1，i4n＋3＝-i. 2.复数的除法

把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bia＋biac＋bdbc-ad除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0). c＋dic2＋d2c2＋d2

1.判断正误：

(1)两复数的商一定是虚数.(

) (2)i2 005＝i.(

) (3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.(

) (4)若z∈C，则z2＝z2.(

) 【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

1

1＋i2.复数1-i＋i3＝________. 1＋i1＋i22i【解析】

1-i＝＝2＝i，i3＝i2·i＝-i.

1-i1＋i∴原式＝i-i＝0.

【答案】

0 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] i的运算特征

计算下列各式的值. (1)1＋i＋i2＋…＋i2 014＋i2 015；

12 014(2)1-i＋(1-i)2 014；

2(3)i2 006＋(2＋2i)8-50. 1-i【自主解答】

(1)1＋i＋i2＋…＋i2 014＋i2 015＝1＋i＋i2＋i3＝0.

1i2(2)∵1-i＝1＋i＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.

1∴1-i2 014＋(1-i)2 014

＝(1＋i)2 014＋[(1-i)2]1 007

＝(2i)1 007＋(-2i)1 007＝0.

2

2(3)i2 006＋(2＋2i)8-50

1-i2＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4-1-i225

＝i2＋(4i)4-i25

＝-1＋256-i＝255-i.

1.虚数单位i的性质：

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝-1，i4n＋3＝-i(n∈N*). (2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 12.复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1-i)2＝-2i，i＝-i及乘方运算律简化运算.

[再练一题] i＋i2＋i3＋…＋i2 0141.(1)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为1＋i________.

【导学号：97220030】

i＋i2＋i3＋…＋i2 014i＋i2【解析】

∵i＋i＋i＋i＝0，∴z＝＝＝i，对应的1＋ii＋1234点为(0,1).

【答案】

(0,1) (2) i为虚数单位，复数z＝i2 012＋i2 015在复平面内对应的点位于第________象限. 【解析】

i2 012＝i5034＝1，i2 015＝i503××4＋3＝-i，∴复数z＝1-i在复平面上对应点为(1，-1)，位于第四象限.

【答案】

四

复数的除法

1＋3i

(1)1-i＝________. (2)已知复数z满足(3-4i)z＝25，则z＝________. 3

1-i(3)i为虚数单位，1＋i2＝________. 【精彩点拨】

(1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算.

1＋3i1＋3i1＋i-2＋4i【自主解答】

(1)1-i＝＝2＝-1＋2i；

1-i1＋i253＋4i253＋4i25(2)由(3-4i)z＝25，得z＝3-4i＝＝25＝3＋4i；

3-4i3＋4i1-i1-i2-2i(3)∵＝＝2＝-i，

1＋i1＋i1-i1-i2∴1＋i＝(-i)2＝-1.

【答案】(1)-1＋2i

(2)3＋4i

(3)-1

1.两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)把除式写为分式.

(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数.

(3)对分子、分母分别进行乘法运算.

(4)把运算结果化为复数的代数形式.

2.解题时注意以下常用结论

1＋i1-i(1)1-i＝i，＝-i，(1±i)2＝±2i. 1＋i(2)in，(-i)n的值是以4为周期的一列值. a＋bia＋biia＋bii(3)b-ai＝＝＝i. b-aiia＋bi

[再练一题] 22.(1)i为虚数单位，复数1-i＝________. 【导学号：97220031】

22(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z＋z＝________. 4

22×1＋i【解析】

(1)1-i＝＝1＋i；

1-i1＋i2221-i(2)z＋z2＝＋(1＋i)2＝2＋2i＝1＋i.

1＋i【答案】

(1)1＋i

(2)1＋i [探究共研型] 复数四则运算的综合应用

探究1

复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？

【提示】

相同，先乘除、后加减.

探究2

如何理解复数的除法运算法则？

【提示】

复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).

计算：(1)1＋i2i-23；

＋(5＋i)2-1＋23i22＋2i34＋5i(2). 5-4i1-i【精彩点拨】

解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算.

【自主解答】

(1)1＋i2i-23

＋(5＋i)2-1＋23i2＝1＋23ii2i＋(25＋10i-1)-2

1＋23i＝i＋24＋10i-i＝24＋10i.

221＋i35-4ii(2)原式＝

5-4i1-i221＋i4i＝

1-i1＋i22[1＋i2]2·i＝

25

＝2·(2i)2·i

＝-42i.

1.进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减. 2.复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：

a＋bia＋biia＋bii(1)b-ai＝bi-ai2＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简a＋bi化；

1＋i11-i(2)记住一些简单结论如i＝-i，1-i＝i，＝-i，(1±i)2＝±2i等. 1＋i

[再练一题] 3.(1)设i是虚数单位，复数i3＋2i＝________. 1＋i(2)设复数z满足(z-2i)(2-i)＝5，则z＝________. 【解析】

(1)i3＋2i2i1-i＝-i＋2＝-i＋i-i2＝1.

1＋i52＋i10＋5i5(2)∵(z-2i)(2-i)＝5，∴z＝2-i＋2i＝＋2i＝5＋2i＝2＋i＋2i＝22-i2＋i＋3i.

【答案】

(1)1

(2)2＋3i [构建·体系]

1.设复数z满足(1-i)z＝2i，则z＝________. 2i1＋i2i1＋i2i【解析】

z＝1-i＝＝2＝-1＋i.

1-i1＋i6

【答案】

-1＋i 102.设i是虚数单位，复数3-i的虚部为________. 10103＋i【解析】

3-i＝＝3＋i.

3-i3＋i【答案】

1 3-2i

z13.如果z1＝-2-3i，z2＝2，则z2＝________. 2＋i3-i【解析】

∵z1＝-2-3i，z2＝，

2＋i2z1-2-3i2＋i-i3-2i2＋i∴z＝＝

3-2i3-2i2＝-i(2＋i)2＝-(3＋4i)i＝4-3i.

【答案】

4-3i 4.已知i是虚数单位，计算【解析】

1-i＝________. 1＋i2221-i1-i1-ii-1-i11＝-2＝2＝-2-2i.

2＝1＋i2i11【答案】

-2-2i 1＋i201001-i52. 5.计算1＋2i·i＋1＋i-21＋i201001-i52

【解】

1＋2i·i＋1＋i-2＝[(1＋2i)·1＋(-i)5]2-i10

＝(1＋i)2-i10＝1＋2i.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

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