3.2 复数的四则运算名师课堂实录

3.2 复数的四则运算

第1课时

复数的加减与乘法运算

1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点) 2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.(重点、难点) 3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)

[基础·初探] 教材整理1

复数的加减法

阅读教材P69，完成下列问题. 1.复数的加法、减法法则

(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). (2)加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i. 2.运算律

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

判断正误：

(1)复数与向量一一对应.(

) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数.(

) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2

复数的乘法与共轭复数

1

阅读教材P70例1以下至P71练习以上部分，完成下列问题. 1.复数的乘法

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i. (2)乘法运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

2.共轭复数

(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z＝a＋bi的共轭复数记作z，即z＝a-bi. (2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔a＝c且b＝-d. (3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.

1.判断正误：

(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(

) 22(2)若z1，z2∈C，且z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(

) z1z2＝z2z1

(z1z2)z3＝z1(z2z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

2.设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________. 【解析】

(1＋i)(a＋i)＝a-1＋(a＋1)i.

∵其对应点在实轴上，

∴a＋1＝0，即a＝-1.

【答案】

-1 2

[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 复数的加、减法运算

1143

(1)3＋2i＋(2-i)-3-2i＝________. (2)已知复数z满足z＋1-3i＝5-2i，求z. (3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z. 【导学号：97220026】

41311431【自主解答】

(1)3＋2i＋(2-i)-3-2i＝3＋2-3＋2-1＋2i＝1＋i.

【答案】

1＋i (2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1-3i＝5-2i，所以x＋yi＋(1-3i)＝5-2i，即x＋1＝5且y-3＝-2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：因为z＋1-3i＝5-2i，所以z＝(5-2i)-(1-3i)＝4＋i.

(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以x2＋y2＋xx2＋y2＋x＝1，x＝-4，＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝-4＋3i. y＝3，y＝3，

1.复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项. 3

2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R).

[再练一题] 1.复数z满足z-(1-i)＝2i，则z等于________. 【解析】

∵z-(1-i)＝2i，

∴z＝1-i＋2i＝1＋i.

【答案】

1＋i 复数的乘法运算

(1)已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2-bi，则(a＋bi)2＝________. (2)复数(3＋2i)i＝________. 【精彩点拨】

(1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算.

(2)直接运用结合律复数的乘法运算.

【自主解答】

(1)∵a＋i＝2-bi，∴a＝2，b＝-1，

∴(a＋bi)2＝(2-i)2＝22-2×2×i＋i2＝3-4i.

(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝-2＋3i.

【答案】(1)3-4i

(2)-2＋3i

1.两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成-1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. 2.常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi-b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a-bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

[再练一题] 2.若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________. 4

【解析】

设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝a2＋b2＝5，即a2＋b2＝25，

z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a-4b)＋(3b＋4a)i.

∵z1·z2是纯虚数.

3a-4b＝0，∴3b＋4a≠0，a2＋b2＝25，

a＝4，a＝-4，解得或

b＝3b＝-3.

∴z1＝4＋3i或z1＝-4-3i.

【答案】

4＋3i或-4-3i [探究共研型] 共轭复数的应用

探究1

两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？

【提示】

若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a-bi，则z＋z＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z-z＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数. 探究2

若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？

【提示】

|z1|＝|z2|.

已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z-3iz＝1＋3i，求z. 【精彩点拨】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a-bi；代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.

【自主解答】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a-bi，(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a-bi)-3i(a-bi)＝1＋3i，

即a2＋b2-3b-3ai＝1＋3i，

22a＋b-3b＝1，a＝-1，a＝-1，则有解得或

-3a＝3，b＝0b＝3.

所以z＝-1或z＝-1＋3i. [再练一题] 5

a＋2i3.已知复数z1＝(-1＋i)(1＋bi)，z2＝1-i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值. 【解析】

z1＝(-1＋i)(1＋bi)＝-1-bi＋i-b＝(-b-1)＋(1-b)i，

a＋2ia＋2i1＋ia＋ai＋2i-2a-2a＋2z2＝1-i＝＝＝2＋2i，

21-i1＋i由于z1和z2互为共轭复数，所以有

a-22＝-b-1，a＋22＝-1-b，

a＝-2，解得

b＝1.[构建·体系]

1.(5-6i)＋(-2-i)-(3＋4i)＝________. 【导学号：97220027】

【解析】

(5-6i)＋(-2-i)-(3＋4i)＝(5-2-3)＋(-6-1-4)i＝-11i.

【答案】

-11i 2. i是虚数单位，复数(3＋i)(1-2i)＝________. 【解析】

(3＋i)(1-2i)＝3-6i＋i-2i2＝5-5i.

【答案】

5-5i 3.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为________. 【解析】

z2＋z2＝(1＋i)2＋(1-i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0.

6

【答案】

0 4.已知复数z1满足(z1-2)(1＋i)＝1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝______. 【解析】

∵(z1-2)(1＋i)＝1-i，∴z1＝2-i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2-i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4-a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.

【答案】

4＋2i 5.计算：

13(1)(1-i)-＋i(1＋i)；(2)(2-i)2. 2213【解】

(1)法一：(1-i)-＋i(1＋i)

221313＝-＋i＋i-i2(1＋i)

22223-13＋1＝＋2i(1＋i)

23＋13＋13-13-1＝2＋2i＋2i＋2i2

＝-1＋3i.

13法二：原式＝(1-i)(1＋i)-＋i

2213＝(1-i2)-＋i

2213＝2-＋i

22＝-1＋3i.

(2)(2-i)2＝(2-i)(2-i)

＝4-4i＋i2＝3-4i.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

7

(1)

(2)

8