2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率第一课时教学设计

课

题：

2.2.1

直线的倾斜角与斜率

教学内容：2.2.1

直线倾斜角与斜率

教学目的：

理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线斜率公式. 教学重点：

直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.

教学难点：

直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学过程：

一、课前复习

[来源:Zxxk.Com]

本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.

解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.

本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系. 直线是最基本、最简单的几何图形，能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础. 教学中一定要注重由浅及深的学习规律，渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体. 二、讲解新课

知识点1

直线的倾斜角

直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．指出：(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.（定义二）

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°

坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地(从形的方面)表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.

知识点2

直线的斜率

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.即ktan。

王新敞来源学科网倾斜角是90的直线没有斜率即2王新敞,k不存在。(斜率是从数的方面刻划直线相对于x轴倾斜程度.) 指出：（1）角的问题（几何）用角的函数（代数）来研究，为什么选择正切？（只涉及点的坐标，而不涉及距离，很方便。但又有定义域需要讨论的问题，最容易犯错误的地方。）

（2）倾斜角和斜率k之间的关系：（单调性的充要结论）

（3）强调：在与不存在两

种情况。

2k不成在。凡是在研究直线的任何问题时，一定要讨论斜率的存

率k的范围。

（求范围是难点，强调要画出两个图形，用形数结合的方法处理）

知识点3

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式: ky2y1x2x1(x1x2)

王新敞分析：（1）只能借助于倾斜角及ktan，故要讨论。（2）当式是x1x2.

2时的代数形来源学科网推导：（用向量的观点）设直线P1P2的倾斜角是，斜率是k，向量P1P2的方向是向上的(如上图所示).向量P1P2的坐标是(x2x1,y2y1).过原点作向量yP1OxP2POPP1P2，则点P的坐标是(x2x1,y2y1)，而且直线OP的倾斜角yy1也是，根据正切函数的定义，tan2x2x1ky2y1x2x1(x1x2)

(x1x2)，即PyP2P1OX王新敞同样，当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论. 指出：（1）当＝0时，公式显然成立。当x1x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率（即适用范围，公式不包括＝90的情况，再次强调凡是在研究直线的任何问题时，一定要讨论斜率的存在与不存在两种情况。）

（2）斜率公式的形式特点，及斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；

（3）斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；（即求斜率的第二种方法，还有用向量的观点求斜率。通过直线的方程求斜率，通过直线的位

置关系求斜率，等）

王新敞三、典例解析

例1

已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 解:直线AB的斜率k1=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5＜0,7所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 例2

求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角：

①P1(2,0)、P2(5,3)；

②P1(2,3)、P2(2,8)；

③P1(5,2)、P2(2,2)；

解：①k301，即tan1，0180,

135。所以这5(2)条直线的斜是

－1，倾斜角是135.

②

斜率不存在，90。

③

k0，0。

指出：（1）此题要求学生掌握已知直线上的两点的坐标求斜率的问题。

（2）此题还要求学生掌握已知斜率求倾斜角的问题，

王新敞例3

（1）已知直线l经过A(2, 1), B(1, m2)两点(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围。

（2）已知直线l经过A(cosθ, sin2θ) 和B(0,1) 两点，求直线l的倾斜角的取值范围。

m21解: （1）因为直线经过A(2, 1), B(1, m)，∴kAB==1-m2，又∵m∈R，∴kAB∈(-∞, 12ππ1],∴倾斜角的范围为[0,](,π)．

421sin2θ22（2）当cosθ=0时，sinθ=1-cosθ=1, 此时A，B重合. ∴cosθ≠0,∴K==-cosθ

0cosθ2π3∈1,00,1, 因此倾斜角的范围是0,π,π。

44指出：此题是已知斜率的范围求倾斜角范围的问题，它的本质是解简单的三角不等式。难点是含参数，要注意对参数的讨论（关键是讨论的基点是什么。）以及要画出图形，形数结合的观点解题。

例4

已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长. m255m2552解：D点的坐标为(-,)，∴kAD==1.∴m=7.∴D点坐标为(-,). 5222202∴|AD|=()(5)52252252. 2四、课堂练习

1. 求经过A(3, m)、B(m2+1, 2)两点的直线的斜率k

解：当m2+1=3，即m=±2时，斜率k不存在，倾斜角2；当m2+1≠3，即m≠±2时，k=2m；

m222. 直线l过点M(0, 2)，N(-3, 3m2+12m+11)，求直线

l的倾斜角α的范围。

解：∵k=3m212m11233(m2+4m+3)=-3(m+2)2+3≤3。即tanα∈(-∞,

3],

,)；

2当tanα∈[0, 3]时，α∈[0，]。综上所述，所求直线l的倾斜角α∈[0，]∪(, π)。

332五、教学小结

而(-∞, 3]=(-∞, 0)∪[0, 3]，当tanα(-∞, 0)时，由α∈[0, π)，得α∈(