1.1.1 构成空间几何体的基本元素评课稿

成都市树德协进中学

1.1.2余弦定理（Ⅱ）

（人教版A版、高中数学、高一必修5、第一章）

授课老师：刘运

一、教学目标

知识目标：能运用余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形，学会边角互化。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二、教学重点和难点

重点：余弦定理的应用和边角互化。

难点：熟练运用边角互化。

三、教学目标：

1．熟练掌握余弦定理及其变形形式．

2．会用余弦定理解三角形．

3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．

四、教学过程：

回顾引入：

1．余弦定理及其推论

b2＋c2－a2(1)a＝b＋c－2bccos_A，

(2)cos A＝；

2bc222c2＋a2－b2b＝c＋a－2cacos_B，

cos B＝；

2ca222a2＋b2－c2c＝a＋b－2abcos_C.

cos C＝. 2ab222

(3)判断角是钝角、直角还是锐角：余弦的分母的正负。

回顾练习：

练习1．

在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为(

) πA.

3

πB.

6

πC.

4

πD.

12答案

B 解析

∵a>b>c，∴C为最小角，

a2＋b2－c2由余弦定理cos C＝

2ab72＋432－1323π＝＝.∴C＝. 262×7×43π练习2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝3，b＝1，3则c等于

A．1

答案

B b2＋c2－a2解析

由余弦定理得cos A＝，

2bc211＋c－3∴＝，∴c2－2＝c，

22×1×c

(

) B．2

C.3－1

D.3 ∴c＝2或c＝－1(舍)．

练习3.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(

) A．60°

C．120°

答案

C 解析

∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，

1∴cos B＝－，∵0°

在前面我们对三角形中余弦定理在解三角形及其变形应用中，我们对余弦定理有了进一步的深入理解。回顾一下正弦定理的应用，除了解三角形，还有一个重要应用就是在三角变换中的边角互换。（紧接着问：什么时候边角互换，有边有角，边角互换）

同样的，余弦定理具有和正弦定理同样的功能。不同的是。前者是边和角的正弦的互换，

B．45°或135°

D．30°

b2＋c2－a2c2＋a2－b2后者是边和角的余弦的互换。而且常用的是cos A＝；cos B＝；cos C2bc2ca

a2＋b2－c2＝.来把角化成边

2ab

cos Bc－bcos A例1、

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝. cos Cb－ccos Aa2＋c2－b22acba2＋c2－b2证明：方法一（化角为边）

左边＝222＝2，

a＋b－cca＋b2－c22abb2＋c2－a2c－b·2bcba2＋c2－b2右边＝＝，

b2＋c2－a2ca2＋b2－c2b－c·2bc∴等式成立．

2Rsin C－2Rsin B·cos A方法二（化边为角）

右边＝

2Rsin B－2Rsin C·cos A＝＝sinA＋B－sin Bcos A

sinA＋C－sin Ccos Asin Acos Bcos B＝＝左边．

sin Acos Ccos C∴等式成立．

例3

在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．

解：由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，

b2＋c2－a2bc1∴cos A＝＝＝，

2bc2bc2π∵0

2aba∴b2＝c2，b＝c，

∴△ABC为等边三角形．

反思与感悟

题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，而且有边有角。可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．

跟踪训练3

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

解

方法一（化角为边）

根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c，

∴a＋c2＝a2＋c2－2accos 60°，

2整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c. ∴△ABC是等边三角形．

方法二

根据正弦定理（化边为角)，

2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，

∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，

整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是等边三角形.

总结：这一节课继续讲解的是余弦定理的运用，余弦定理除了解三角形之外，还有一个和正弦定理一样的作用就是边角互换。在三角形中的边角互换时，还需要注意一个隐藏条件就是三角形的内角和是π。

板书设计：

回顾：

1.1.2余弦定理

1、余弦定理及其推论

2、余弦定理的运用

（1）解三角形：SAS、SSS

（2）边角互换：常用把角的余弦化为边。