回顾与思考优质教案设计

第六章

平行线的证明

（回顾与思考）

永宁蓝山

纳泽明

一、学生情况分析

学生的技能基础：学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步，不过对于较难的几何证明题则不能站在更高的逻辑思维层面上思考．

学生活动经验基础：

在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

在本章的学习中，学生已经掌握了几何的推理论证的基本理念，对于简单的几何证明有了一定的认识，但不能从更深层次进行思考，对于如何分析命题中的条件与结论则存在一定的困难，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：

知识与技能：

（1）了解命题的概念与命题的构成；

（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；

（3）进一步体会证明的必要性；

数学能力：

（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力；

（2）掌握证明的步骤与格式．

1

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．

第一环节

知识回顾

活动内容：

1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！

2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？

3.三角形内角和定理是什么？

4.与三角形的外角相关有哪些性质？

5.证明题的基本步骤是什么？

活动目的：

通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备．

注意事项：

由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：

定理判定平行线性质真命题推论证明应用分类内角和定理三角形证明命题推论（外角）

公理假命题反例条件（题设部分）结构结论第二环节

做一做

活动内容：

1.下列语句是命题的有（

）

（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；

2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如

2

果是假命题，请举出反例.

（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b.

3.

如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________. 4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。

5. 如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB= 6. △ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____. 7. 已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°, ∠CDE=152°，则∠

BED=__________. A1AAE3BFED

FB2C BCDDC第3题图 第5题图 第7题图

活动目的：通过以上习题的练习，使学生对本章的一些基本知识，如：定义、命题、平行线的性质定理与判定定理、三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念有一个更清楚的认识。

注意事项：

此类习题主要考查学生对于本章的一些知识点的认知程度，对于多数同学而言，这是比较简单的习题，但对于少数同学而言还是有一定的困难，如果出现部分同学有学习困难时，在讲解之后，还可再出部分类似习题供学生练习。

第三环节

想一想

活动内容：

1、已知，如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。

求证：∠1+∠2=180°

证明：∵a∥b（已知）

∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠3=∠2（对顶角相等）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

3

2、已知，如图，∠1+∠2=180°,求证：∠3=∠4. 证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）

∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1+∠5=180°（等量代换）

∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）

活动目的：

学生在进行了一些必要的知识准备之后，有必要对学生进行简单几何证明题的训练，从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

注意事项：

在教学中，应避免对学生采用直灌式，不可直接将证明的步骤给学生，应该在学生充分思考并表达了自己的想法之后再对学生的思考过程进行评判，切忌因为证明题的简单而一笔带过，这是培养每一个学生的逻辑思维能力的必要手段．

第四环节

试一试

活动内容： 3、已知，如图，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.

（1）

（2）

本题有多种证法. 证法一：（如图（1））过点C作CF∥AB. ∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥ED（已知）

∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）

∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）

∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）

即：∠BCD=∠ABC+∠CDE

证法二：（如图（2）），延长BC交DE于F点

∵AB∥DE（已知）

∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）

4

∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．

4、将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？

活动目的：

通过螺旋式上升的练习，使得学生逐步提高学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力，提高分析问题的能力．

注意事项：

第3题需要通过作辅助线才能解决，必须让学生充分发表自己的看法，第4题的目的是让学生证明AB∥EF，而不是让学生找什么样的连法最短，不必要将学生的时间花费在此方面．

第五环节

反馈练习

1、如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于 【 】

（A）63° (B) 62° (C) 55°

（D）118°

2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是 【 】

（A）垂直 (B)两条直线 (C)同一条直线 （D）两条直线垂

直于同一条直线

3．如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则 【 】

（A）AB∥CD

(B) AD∥BC (C) AD=BC

（D）AB=CD A

B D E

C 第3题

第1题

4．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】

（A）锐角三角形

(B)钝角三角形

(C)直角三角形 （D）无法确定

5．锐角三角形中，最大角α的取值范围是

【 】

（A）0º＜α＜90º

(B) 60º＜α＜90º

5

A (C) 60º＜α＜180º

（D）60º≤α＜90º

DE6、如图：∠A=65º

，∠ABD=∠BCE=30º，且CE平分∠ACB,求∠BEC.

BC7、如图，AB，CD相交于O，且∠C＝∠1。试问：当∠2与∠D有什么大小关系时，AC∥BD？请证明你的结论。

8、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C. 求证：∠1=∠2.

B G 3 1 D 2 F A E C 活动目的：

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求，体现不同的学生在数学上得到不同的发展．

课后练习：课本第248页复习题第8、9、10、12题；

四、教学反思

本节课的重点是在学生对几何证明题的解答中，由演绎推理与合情推理发展学生的推理能力，从而培养学生的逻辑思维能力，但“证明”的表现和运用，不仅仅在要求证明的题目中，而是渗透和应用在几乎所有的数学知识学习及运用的过程中。培养学生的逻辑思维能力不是一蹴而就的，因此，掌握和运用证明是一个渐进、长期的过程，体现在诸多章节的学习中。

本节课的设计体现了如下特点：

1. 例题、习题的安排采用“逐次递进，螺旋式上升”的原则，让学生逐步感受数学的深邃，体现了新课程“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。

2. 从知识点的回顾逐步过渡到数学能力的培养，表现了点——线——面的基本教学思路。

3. 设计中体现了“学生是学习的主人”这一主题。

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