加减法解二元一次方程组优秀教学实录

第五章

二元一次方程组

2. 求解二元一次方程组（第2课时）

一、学情分析

学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、合并同类项、去括号等法则，能熟练的进行简单的整式加、减法运算，知道方程的解的意义，能熟练的求解一元一次方程，了解二元一次方程以及解的意义、二元一次方程组及其解的意义，能通过代入消元法求解二元一次方程组. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了列整式、列一元一次方程并求解，列二元一次方程组解决一些简单的现实问题，感受到了方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，通过解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组获得了解二元一次方程的基本经验和基本技能；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教材分析

教科书基于学生解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组基础之上，提出了本课的具体学习任务：会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中的化归思想. 《课程标准（2011年版）》把方程与方程组的重点放在解法和应用上，特别强调体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，如何

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解方程与方程组是方程与方程组教学的主体和重点.对于二元一次方程组来讲，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿于始终的一条主线，通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了化繁为简，以简驭繁的基本策略，对促进了学生理性思维的发展具有重要意义.通过第一课时的学习，学生已经能够解一般的二元一次方程组，但对于有些方程用代入消元法解可能比较繁杂，用加减消元法要简单一些，同时加减消元法在学生将来的矩阵运算中有广泛的应用.因此这个课时就进一步学习二元一次方程组的加减消元法. 1.教学目标：

(1)会用加减消元法解二元一次方程组. (2)进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中的化归思想. 2.教学重点：

用加减消元法解二元一次方程组. 3.教学难点：

在解题过程中进一步体会“消元”思想和化归思想. 三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：讲授新知；第三环节：小试身手；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂小测；第六环节:布置作业；

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第一环节：情境引入

课前展示环节中，在课前学生解方程组xy20，课前批改，把xy16解答过程规范，字迹工整的拍照同屏上传.刚刚解的方程组未知数系数的绝对值是1，但在大多数情况下我们遇到的二元一次方程组未知数的系数未必是1或者-1，如下面这个方程组. 活动一

怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生小组讨论）

3x5y21

2x5y11

学生可能的解答方案1

解1：把②变形，得：x5y11, ③

2把③代入①，得：35y115y21, 2解得：y3. 把y3代入②，得：x2. 所以方程组的解为x2. y3学生可能的解答方案2 解2：由②得5y2x11, ③

把5y当做整体将③代入①，得：3x2x1121, 解得：x2. 把x2代入③，得：y3. 所以方程组的解为x2. y3

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（此种解法体现了整体的思想）

学生可能的解答方案3 解3：根据等式的基本性质

方程①+方程②得：5x10, 解得：x2, 把x2代入①，解得：y3, 所以方程组的解为x2. y3通过上面的讨论发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗? （留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）

引导学生发现方程①和②中的5y和-5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的. 这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. 意图：在讨论的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我

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们要研究和解决的问题. 效果：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法. 说明：如果学生不能发现方法3，教师可以适当引导，如在方法2中，我们直接解出5y，代入另一式子从而消去一个未知数，是否可以不解出直接消去这个未知数呢，两个式子中系？能否通过等式加减直接消去这个未知数呢？

第二环节：讲授新知

用方法3解方程组就是我们这节课要学习的加减消元法解二元一次方程组，ppt上规范解题过程，为学生作出示范，并介绍加减消元法. 2x5y7练习巩固：解下列二元一次方程组

2x3y1y的系数有什么关



（让学生在导学案上独立做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的问题，可能有同学在相减的过程中出现错误拍照同屏上传，发现正确规范字迹工整的拍照上传与大家一起分享）

师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：

在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）

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活动二：

观看视频，跑男中陈赫算鸡兔同笼问题，笼子中有鸡和兔共35个头，94只脚，陈赫设鸡有未知数列出二元一次方程组x只,兔有y只，学生很容易根据设的xy35

2x4y94目的：吸引学生的兴趣，并为后面二元一次方程组的应用做铺垫，也让学生体会数学是来源于生活并服务于生活的学科.同时也是对前面的方程做进一步变形，未知数系数的绝对值不相同的情况，但系数满足倍数关系的情况。学生思考并找同学说思路，然后独立完成，巡视并解疑.PPT规范过程. 刚才我们解的方程组未知数的系数满足整数倍关系，那如果系数不满足整数倍的关系怎么处理呢？这个方程该怎么解决，小组3分钟时间讨论. 

2x3y12例3：

3x4y17

学生在讨论的过程中可能出现如下的想法：

2x3y12想法1.对于用加减消元法解，3x4y17x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法. 想法2.是不是可以这样想，将方程组2x3y12中的方程用等3x4y17式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.

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想法3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了. 想法4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得6x9y36③,在方程②两边同乘以2，得6x8y34④,然后③-④，就可以将x消去，得y2,把y2代入①得，x3.所以方程组的解为x3,

y2.在学生小组讨论的过程中，肯定学生好的想法，鼓励学生勤于思考，小组展示讨论结果，板书过程.

练习题：用加减消元法解方程组5x6y9

7x4y5学生独立完成，教师巡视并答疑，利用此时间关注薄弱学生，帮助薄弱学生，找同学展示过程并讲解过程. 意图：通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．

效果：通过本环节的练习，学生能够较熟练地运用加减法解二元一次方程组. 第三环节：小试身手

3x2y231.

用加减消元法解方程组

5x2y33巩固本节课未知数系数绝对值相同利用加减消元法求解二元一次方程组。

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5x3y162.（1）解二元一次方程组

3x5y0.5xy3xy16（2）现在你可以用哪些方法解方程组

3xy5xy0.针对（1）巩固加减消元法解二元一次方程组，学生展示解答过程，给出方程组的解x5

y32x8y162x8y0其中（2）学生的方法多样，例如可以先去括号得到方程组再解的结果x4；也有部分同学发现（1）和（2）两题之间的关系，y1xy5进而求解.设计本题的目的在xy3直接利用第（1）题的结论得到于引导学生自主的进行方法比较，力图渗透一定的整体换元思想和化归思想. 第四环节：课堂小结

本节课你有那些收获？

引导学生从以下几个方面进行总结: 1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. 2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．

3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：

①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．

②加减消元．

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③解一元一次方程．

④求另一个未知数的值，得方程组的解．

意图：巩固和加深对化归思想的理解和运用. 效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.

第五环节

课堂小测

课堂小测

1.用加减法解方程组6x5y17①

应用（ ）

6x7y19②

A.-消去x B.-消去y C.-消去常数项 D.都不对

2.二元一次方程组3x2y4的解是 （ ）

5x2y6x-1x1x1x1A  B  C D111

y1yyy2223. 若方程组x2ym的解满足x-y=5,则m的值为 2xy14. 解方程组

2x5y21 4x3y23第六环节

布置作业

A组同学完成试卷1-12题

B组同学完成试卷1-10题

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四、教学设计反思

1.本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法，并能利用加减消元法解二元一次方程组，是提升学生求解二元一次方程的基本技能课，在例题的设置上充分体现化归思想. 2.在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会化归思想.因而在教学过程中通过对问题的创设，鼓励学生去观察方程的特点，在动手训练中提高学生的解答正确率和表达规范性，提升学生学会数学的信心，激发学习数学的兴趣. 3.通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析得出二元一次方程组的解法，在巩固练习活动中，加深学生对化归思想的理解.特别是如何由代入消元法到加减消元法，过渡自然.让学生深刻的体会到二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程组又要通过“消元”，转化为一元一次方程求解，这样的转化，不仅有助于学生掌握知识、技能和方法，提高学习效率，而且还加深了对数学中通性和通法的认识，体会学习数学和研究数学的规律，提升数学思维能力. 4.对于数学基础比较扎实的学生完成情况好，在数和整式运算上没有过关的学生，求解速度慢而且正确率较低，在教学过程中要注意这一点.

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