小结说课稿【一等奖】

第二章

随机变量及其分布列

2.3.2离散型随机变量的均值与方差-习题课

一、教学目标：

知识与技能：

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；

2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题. 过程与方法：

通过知识梳理构建知识网络，经历典型问题的解析总结基本解题思路，形成解题技能。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：离散型随机变量的方差、标准差．

难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X P (1)均值

x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差

2称D(X)＝∑__(x－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术i＝i1n平方根D（X）为随机变量X的标准差.

1

2.均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 诊

断

自

测

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(在括号内打“√”或“×”)

(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(

) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(

) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(

) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(

) 解析

均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确. 答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2. [P68A组T1]已知X的分布列为

X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(

) 7A.

3B.4

C.－1

D.1 －1

1

20

1

31 1

611127解析

E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 26333答案

A 3.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于(

) X P 1A.

92B.

91C.

30

m 1 2m

2D.

312解析

由已知得m＋2m＝1得m＝，由于X服从两点分布，所以D(X)＝m·2m＝. 39答案

B 14.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于________. 511解析

∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 55

2

答案

8 5[P68A组T5]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：

X P

Y P

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．

答案

乙

解析

E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

∵E(Y)

∴乙技术好．

（二）典例解析

0

0.4

0

0.3

1

0.3

1

0.5

2

0.2

2 0.2 3 0.1 考点一

离散型随机变量的均值与方差

【例1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).11有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不4612超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为23随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 解

设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：

111121111112115P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝40)＝×＋×＝；P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；

4624432644623461211121111P(ξ＝120)＝×＋×＝；P(ξ＝160)＝×＝. 264344624ξ的分布列为

ξ

P 0

1

2440

1

480

5

12120

1

4160 1

2411511E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. 24412424115114 000D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 244124243规律方法

(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.

3

(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用. 考点二

与二项分布有关的均值、方差

2【例2】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获32得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖5中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

22解

(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响. 35记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，

224则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝×＝，

35151111所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，即这2人的累计得分X≤3的概率为. 1515(2)

设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 2224242，，X2～B2，，所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，

由已知可得，X1～B353355812因此E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.因为E(2X1)>E(3X2)，

35所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大. 法二

设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：

Y1

P

Y2

P

1448912412∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝，

99932525255因为E(Y1)>E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大. 规律方法

二项分布的期望与方差. (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.

4 0

1

92

4

94 4

90

9

253

12

256 4

25

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b). 考点三

均值与方差在决策中的应用

【例3】某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情72况发生的概率分别为和；

99项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，311且这三种情况发生的概率分别为，和. 5315针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解

若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为

X1 P 72∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元). 99若按“项目二”投资，设获利X2万元，

则X2的分布列为：

X2 P 500 3

5－300 1

30 1

15300 7

9－150 2

9311∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元). 531572D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

99311D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. 5315所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 规律方法

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 练习1某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决

5

定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．

解

(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

5431则P(A)＝××＝. 6542(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3. 1511又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，

6656542P(X＝3)＝××1＝. 653所以X的分布列为

X P

1125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 66322练习2.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为，3每个问题的解答互不影响．

(1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差；

(2)设答对一个题目得10分，否则扣1分，求该同学得分η的期望与方差．

2[解]

(1)由题意知，解答这5个问题，答对的个数ξ服从二项分布，即ξ～B(5，)，

3由二项分布的期望与方差的公式有

210Eξ＝np＝5×＝，

332210Dξ＝npq＝5××(1－)＝. 3391

1

62

1

63 2

3(2)∵该同学的得分η，

η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5，

∴得分η的期望为Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 1095＝11×－5＝，

33101210方差Dη＝D(11ξ－5)＝112×Dξ＝121×＝

99练习3.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

6

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。

五、小结

[思想方法] 1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，

D(aX＋b)＝a2D(X)；

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 2.基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解. [易错防范] 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差. 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤

第一步：确定随机变量的所有可能取值；

第二步：求每一个可能取值所对应的概率；

第三步：列出离散型随机变量的分布列；

第四步：求均值和方差；

第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)；

第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范性．

六、作业

七、教学反思：

7