1.3 二项式定理（通用）优秀教案设计

二项式定理（第一课时）教案

宁波市效实中学

黄琪锋

一、教材分析

《二项式定理》是高中数学人教版A版选修2-3第一章《计数原理》的第三节．在学科教学指导意见中，本节内容分二课时．

１.在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙. ２.二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布作准备. ３.由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．

４.运用二项式定理也可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题． 二、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概

括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

通过对中西方数学家在二项式定理研究的进程来增强学生的学习兴趣，

培养学生的自主探究意思，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

三、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：借助数学史的知识引入二项式和二项式定理

【设计意图】通过对中西方数学家在二项式定理研究的进程来增强学生的学习兴趣，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确这节课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

1

问题1：

(a1a2)(b1b2)的展开式是什么？

展开式有几项，每一项是怎样构成的？

问题2：(a1a2)(b1b2)(c1c2)每一项是怎样构成的，展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，同时也为后续的学习作准备. 2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不展开(ab)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式.

【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)———

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk

(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)k选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的的展开式．

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(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n1项. （2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk（3）二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. knkk（4）二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表knkk示,即通项为展开式的第k1项: Tk1=Cnab

牛刀小试：

（1）(1x)n （2）(ab)n

432（x1）（4x1）（6x1）（4x1）1

（3）化简（2x例1 求1x4）的展开式. 思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第３项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

(五) 课堂小结，课后作业

由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想.

0n1n1knkknn1.

一个公式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

两种方法：1.从特殊到一般的研究方法. 2.用计数原理分析项和系数. 巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3 012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质．

,Cn,Cn,,Cn,,Cn【设计意图】

(1)通过小结使学生明确本节课的知识。

(2)适当的作业有助于进一步巩固新知。

(3)思维拓展型作业鼓励学生探究二项式系数的性质，为后面“杨

辉三角的学习作好铺垫．

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