1.3 二项式定理（通用）PPT专用课堂实录内容

人教版选修2-3第一章第三节

再探“杨辉三角”

泉州市第五中学 吴水文

【教学目标】

知识与技能：

1、进一步探索杨辉三角中行、列数字的规律、特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；

2、探索杨辉三角中行、列数字的规律、特点与其它数学对象之间的联系，让学生经历数学发现、亲身体验数学探究的激情和喜悦，激发学生学习兴趣，提高应用知识的能力，为数学探究、数学创造打下了坚实的基础. 方法与过程：

1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学推理方法；运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；

2、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——学会从多角度看问题，

3、通过探究杨辉三角与纵横路线图，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观：

1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．

2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】

重点：杨辉三角的数或形规律的发现

难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律，并运用数学知识总结。

【教学方法与教学手段】

引导探索——合作交流——发现

计算机辅助教学

【教学过程】

一：引经据典，步入新课

(展示图片)

今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。

什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。

今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。

大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。

那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘

人教版选修2-3第一章第三节

密呢？让我们一起来研究一下。

二：复习回顾，总结已知

杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。

杨辉三角的基本性质：

1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式(ab)n展开式的系数列C。

rnrnrrnrr2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即Cncn。

3°递推性：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即Cncn1Cn1。

4°增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小；当n为偶数时，C最大；当n为奇数时，Cn12nn2nCn12n最大。

三：小组合作，共探新知

当然，在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，我们该如何去研究杨辉三角呢？

苏轼有一首诗对我很受启发。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这是苏轼的《题西林壁》。这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”、“侧看”、“远看（整体）”、“近看（局部）”这几个角度出发呢？下面，就让我们从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1....................

11C C1012C2 C2 C2013C3 C3 C32 C3

01234C4 C4 C4 C4 C40135C5 C5 C52 C5 C54 C50123456C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6............012r1rn20Cn1 Cn-1 Cn-1 ... Cn-1 Cn-1 ... Cn-1 Cn1012rn10Cn Cn Cn ... Cn ... Cn Cn01（接下来为6分钟左右的学生探讨）

四：个人展示，分享所得

第一位（侧看）: 生：我们组发现： 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 每一斜行前n个数加起来都是下面一行的第n个数。

师：你们是如何发现这个结论的？

生：我们是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些结论？

师：你能用组合数来表示么？简单点，第二斜行相加用组合数来表示一下。

111112生：C1C2C3C4...Cn1Cn

师：那么推导到一般情形呢？

rrrrr1生:

CrCr1Cr2Cn1Cn(nr)

师：非常好！

第二位（横看）: 生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话，每一行都是11的次数。

人教版选修2-3第一章第三节

第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我们验算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我们猜测将杨辉三角第n行数字依次写下来是11的n-1次。

师：11的1次为11，11的2次121， 11的3次1331好像确实是这样。

那么我们一起来帮他们验算一下11的4次？

生：14641 师：那么11的5次是多少呢？我们来一起算一下。

生：11的5次为161051。

师：太可惜了，这是一个多么美好的结论啊，问题出在哪儿呢？我们一起来看一下，同学们，我们11的4次是如何计算的啊？总不会是11×11×11×11得到的吧？

很显然不是，我们是通过1331×11计算得到的。从这里我们会发现，14641其实是两个1331错位相加得到的。那么11的5次是不是也是由两个14641错位相加得到？而在这个过程中，出现了一个问题，大家发现了没有？

生：进位了！

师：非常好，这里产生了进位，于是就出现了问题。所以我们是不是只需要把这个结论改一改，将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。

第三位（近看）：

生:既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？通过计算，第二行的平方和为2，第三行的平方和为6，第四行的平方和为20，这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。

师：能用组合数来表示吗？

0212n2n生：(Cn)(Cn)...(Cn)C2n

师：又是一个非常好的结论！通过前面几行验证，我们发现确实是这样。那么，这个结论是否正确呢？我们该如何去证明呢？由于时间的关系，我们这里不再做展开。希望大家在课后做进一步的研究与探讨。

第四位（斜看）：

生：我们组是从斜的角度去看：杨辉三角中斜的每一行都是一个数列，第一行是一个常数数列，第二行是等差数列，第三行也是一个数列，我能写出他的通项公式。

师：这个结论看上去简单，却是一个非常好的结论！通过观察，我们发现每一斜行都是一个特殊的数列。

第五位（远看）：

生：将杨辉三角30°角斜行加起来得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …每一项都是前两项之和。

师：是如何发现的？ 生：通过书上的提示得到的。 师：查找资料也是一种非常好的研究方式。

A

五：杨辉三角与纵横路线图

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处

(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

六：教师补充，再得新知

B

那么我这边还有一些有趣的结论。

其实我们在研究过程中，不要被自己的惯有思维所约束。我们为什么一定要把杨辉三角放成等边三角的形式呢？有些人就不这么认为，他把杨辉三角摆放成直角三角，也得到了一些有趣的结论。再比如，我们在看数的时候，为什么一定要从数值的角度去研究呢？是不是也可以从正负的角度或者奇偶的角度去研究呢？当我将杨辉三角中的奇数改为“1”，偶数改为“0”。大家看，是不是会得到一个有趣的图形？其中第2的k次行均为奇数，奇数行的下面一行除两端之外均为偶数。

并且，我将杨辉三角中的“1”用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形——歇尔宾斯基三角。

人教版选修2-3第一章第三节

这是一个自相似图形，对歇尔宾斯基三角进行拓展：谢尔宾斯基塔（三棱锥）——谢尔宾斯基地毯（正方形）——谢尔宾斯基海绵（正方体）。我们就诞生了一门新的数学分支——分形数学。

分形数学与我们的生活息息相关，比如说股票的预测、气象预报等。并且有许多优美的图案，这些图案并不是出自艺术家的手笔，而是数学的杰作！

这就是数学之美，数学中充满了美！再比如刚才我们得到的斐波那契数列，它也有许多优美的内容。关于斐波那契数列，我们会在下一堂课中专门来介绍它。

七：探究小结,盘点新知

1、运用了联系、类比的观点看问题；

2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；

3、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——学习了从多角度看数阵；

4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力

八：作业：

最后，我有两个任务。通过今天的研究，我们已经把杨辉三角的秘密都找到了吗？（生：没有）当然没有，我在课堂的开始就讲过，贾宪用它手算高次方根，那么它是如何计算的呢？牛顿的微积分与它有一定的关联，关联在哪呢？我希望大家课后查找资料，并阅读华罗庚先生的《从杨辉三角说起》，去寻找这些答案，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。

同时，运用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？