信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响第二课时教学实录

2.4 正态分布教学设计

茂名市第一中学 周少萍

一、教材分析

正态分布是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版选修2-3第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续。该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。

旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。

正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。在这里学习正态分布，也有利于学生在大学阶段的进一步学习。

二、教学目标

1．知识与技能

①

通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源

②

通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

2．过程与方法

①

通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法

②

通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力

3、情感态度与价值观

①

通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣

②

通过3原则的学习，充分感受数学的对称美

三、重点、难点

重点：正态分布密度曲线的特点，利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

难点：正态分布密度曲线的特点

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四、教法与学法

学情分析

在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布是研究连续型随机变量概率，学生第一次接触连续型随机变量的分布问题，在接受上有困难。而且正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。

根据以上学情，我采取了如下的教学方法：

1、教法

本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和计算机辅助教学法。通过“试验引入——旧知铺垫——生成函数——层层深入——探究新知——延伸拓展”等环节展示了一个完整的数学探究过程。而计算机的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。

2、学法

纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：

⑴

观察探究：

观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）

⑵

归纳分析：

引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。（如通过几何画板的观察，归纳分析参数、对图像的影响）

⑶

理解应用

在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣。（如例题2及作业B组题的设置）

五、教学过程

（一）创设情境

学生演示高尔顿板试验

这个实验是英国生物统计学家高尔顿设计的。具体操作如下：自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中小球碰到木块从左边落下的概率记为p，从右边落下的概率记为1p，碰到下一排木块时，也是如此。最后落入底板中的某个槽。因此任意放入一个球，小球最后落入某个球槽事先是难以确定的，但是实验证明，如果放入大量小球，

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则其最后呈现的曲线总是相似的，也就是说落入球槽中的小球的频率趋向稳定。

【教学活动】教师介绍高尔顿板试验，为导入新知做准备。学生分成三组在计算机上模拟高尔顿板试验。学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。

【设计意图】通过高尔顿板试验，引导学生直观的认识钟形曲线，为探究曲线的性质做准备。

（二）合作探究

探究点一

正态分布密度曲线

1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

⑴

将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表。

⑵

以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

【教学活动】在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率。

⑶

将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

【教学活动】教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量。

【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

2．正态曲线：

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这

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种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

,(x)1e2(x)222,x(,)

其中:圆周率，e:自然对数的底，和(0)是两个参数。：数学期望，：标准差，我们称,x的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

【教学活动】教师提出课题并板书：2.4正态分布。教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义。

【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源。

探究点二

正态曲线的特点

3．信息技术：用计算机（几何画板）研究正态曲线随着和而变化的特点

⑴固定的值，观察对图象的影响

【教学活动】学生通过观察得到：当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；结合

解析式分析知0时它是个偶函数，于是参数决定了正态曲线的对称轴，0时的图象可由0时的图象平移得到。（教师板书：曲线是单峰的，它关于直线x对称）

同时得到：曲线在x时达到峰值12（教师板书）。

⑵

固定的值，观察对图象的影响

【教学活动】学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一定时，影响了曲线的形状。即：越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均

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值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。

⑶

综合以上图象，你还能得到正态曲线的哪些特点？

【教学活动】综合以上的图象并结合解析式分析得到：曲线位于x轴上方，与x轴不相交。（教师板书）。最后引导学生由概率知识知：曲线与x轴之间的面积为1（教师板书）。

【设计意图】该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。

4．曲线与x轴之间的面积为1。

根据对称性知，随机变量X落在对称轴x两侧的概1率都是。请思考：对于任意一个随机变量X，如何求出落在给定区间a,b内的概率？

2y

【教学活动】引导学生回忆得到：X落在区间a,b的概率的近似值其实就是在a,b上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数x在区间a,b上的定积分。即：

Pa＜Xb,xdx

baO abx 【设计意图】通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解。为引入正态分布的定义做铺垫。

探究点三

正态分布的定义

5.正态分布概念：

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足Pa＜Xbba,xdx，则称X的分布为正态分布，常记作N,2。如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N,2。

【教学活动】教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。引导学生分析得到，X所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。

【设计意图】以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识。同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标

X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．

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【课堂内外拓展】

（1）正态分布的前世今生

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概率是由法国数学家和天文学家棣莫弗于1733年首次提出的。但由于德国数学家高斯最先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。

高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家。重要的贡献不胜枚举。现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。

（2）正态分布的实际应用

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；射击目标的偏差；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等。因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．

探究点四

特殊区间的概率

6．3原则

几何画板演示3原则：

P2＜X20.9544

P＜X0.682

6

P3＜X30.9974

【教学活动】引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数。根据现有知识，无法求,x原函数。得寻求别的方法求概率。学生通过利用几何画板演示随机变量X落在区间,,2,2]与3,3]这三个区间内的概率，引入3原则的内容，并指出：在3,3区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取3,3之间的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。(教师板书3原则的内容)

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【设计意图】新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难。学生利用几何画板，从数与形上体现了3原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。

（三）学以致用

题型一

利用正态分布的对称性求概率

例1：在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，试求：

(1)X在(0,4)内取值的概率；

(2)P(X＞4)．

【教学活动】由X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)可知μ＝2，画出正态曲线的图象，根据图象性质求相应区间的概率．

(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，

∵P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)，

∴P(0＜X＜4)＝2P(0＜X＜2)＝2×0.2＝0.4. 11(2)P(X＞4)＝2[1－P(0＜X＜4)]＝2(1－0.4)＝0.3. 【设计意图】通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解。应用数形结合把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”的问题．

题型二

正态分布的实际应用

例2：

某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如下图：

(1) 写出X的分布密度函数；

(2) 求成绩X位于区间52,68的概率是多少？

(3)求成绩X位于区间60,68的概率是多少？

(4)若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？

【教学活动】(1)学生相互讨论，根据对称轴可知60，根据峰值可知8，代入正态曲线表达式可得：,x182e182y

x

O

20

40

60

80

100 x602128

，

由60,8知：

(2) P52＜X68P＜X0.6826

(3)P60＜X68P52＜X680.3413

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(4)PX＞76PX＜441P44X76110.95440.0228

212100000.0228228（人）

【设计意图】通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情。本例是由课本74页练习2进行变式处理，做到了一题多用。该环节设置的(2)(3)(4)这三个小问，分别要求学生根据3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率。体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度。

（四）课堂测试（茂名云课堂）

1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是

(

) A．σ1>1>σ2>σ3>0 C．σ1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3

D．0<σ1<σ2＝1<σ3

2．对于标准正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)（xR），下列说法不正确的是(

)

A．f(x)为偶函数

B．f(x)的最大值是1212ex22

C．f(x)在(0,)上是单调减函数,在(,0)上是单调增函数

D．f(x)关于1是对称的

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(4,2)，则P(4)等于(

) 1111A．

B．

C．

D．

54324．已知随机变量ξ服正态分布N(2,2),且P(4)0.8,则P(02)等于(

) A．0.6

5．正态分布f(x)

B．0.4

C．0.3

D．0.2 122e(x5)28在(1,9)内取值的概率为(

)

A．

68.26%

B．95.44%

C．99.74%

D．80.31% 6．某工厂生产的零件外直径ξ～N(10,0.22))，单位:cm，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为

(

)

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A．上午生产情况正常，下午生产情况异常

B．上午生产情况异常，下午生产情况正常

C．上、下午生产情况均为正常

D．上、下午生产情况均为异常

（五）课堂小结

1．正态曲线有哪些具体的特点？

2．3原则是什么？它对、取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？

3．思想方法： 数形结合思想

4．生活中的正态分布

【教学活动】教师引导学生进行课堂小结，自我评价。学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。

【设计意图】通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价。教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法。通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

（六）布置作业

1. 必做题：课本P75页A组第1、2题

，B组第2题

2. 选做题：找一找实际生活与生产中，还有哪些随机现象是服从或近似服从正态分布的，并解释原因. 3. 思考题：在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多

【设计意图】学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。

（七）板书设计

2.4正态分布

1. 正态分布密度函数

例题讲解：

f(x)12e(x)222,x(,)

例1 2.正态曲线的特点

3.正态分布的定义

例2 (1)

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(2) b2若P(aXb)f(x)dx，则X~N()．

a

(3) 4.特殊区间的概率——3原则

(4)

六、教学设计说明

数学知识之间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联系，这样更容易使学生在学习过程中把前后所学知识联系起来进行理解记忆，更容易体会数学知识的形成过程。

该教学设计通过试验引入——旧知铺垫——生成函数——层层深入——探究新知——延伸拓展等环节展示了一个完整的数学探究过程。为使课堂生动有趣，教学效果好，该设计将信息技术与课程内容进行有机整合，用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量，使学生对重点内容的掌握更深入。

七、教学反思

1．现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合，以利于学生认识数学的本质。本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量，使学生对重点内容的掌握更深入。

2．“数学是思维的体操”，要提高学生的数学思维能力，需要通过学生自身动口、动手、动脑，以及教师的正确引导．因此，在课堂设计中，我把试验交给学生做，让他们感悟函数模型的生成，并时刻注重引导和调动学生的主观能动性，创造条件给足时间让学生“讲、演、练”

，充分而有效的发挥学生的主体作用。

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