2.3.1 圆的标准方程教案及板书设计

《圆的标准方程》教学设计

文昌中学 高燕

教材分析

《圆的标准方程》选自普通高中课程标准实验教科书人教A版必修2第四章圆的方程第一节。圆是解析几何中最简单的曲线之一，圆的标准方程的学习是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质这一基础上进行展开的，在学习中充分体现了数形结合的思想，以及用代数方法解决几何问题的思想，也是为后面进一步学习其它圆锥曲线打下坚实的基础，具有相当重要的意义。

学情分析

圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，在本节课之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。再者，学生经过了必修一、必修二的部分学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，对直角坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

教学目标

1.

掌握圆的标准方程的推导，熟练的说出它的圆心坐标和半径以及会根据不同条件求圆的方程。 2.

培养学生用坐标法研究解析几何的能力，体会数形结合的思想。

3.

渗透事物之间的相互联系，相互转化的观点。

教学重难点

教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程. 教学难点:待定系数法求圆的标准方程.

教学过程

一.温故知新

引入课题

①.确定一条直线，需要哪些基本条件？

②直线与二元一次方程有什么关系？ ③从直线过渡到圆，引入课题《圆的标准方程》．

设计意图：通过对直线方程的回顾，让学生能够自然的联想到下面需要研究的问题，可激发学生的求知欲，增强问题意识，同时使学生注意到知识之间的相互联系．

二

提出问题，获得新知

问题1：圆的定义是什么？

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆

符号表示：CMr

．．．．问题2：根据圆的定义，确定一个圆需要哪些条件？

圆心C：确定了圆的位置

半径r：确定了圆的大小

设计意图：问题1和问题2通过动画和几何画板的展示，明确圆的定义，确定圆的要素，为圆的方程的推导作好准备．

问题:3：类比直线方程的研究方法，如何确定圆的方程？

方案1：选择圆心C为直角坐标系的坐标原点O

(x-a)2+(y-b)2=r2

方案2：不选择圆心C为直角坐标系的坐标原点O

x2+y2=r2

设计意图：圆的标准方程的推导是本节课的一个重点。建系方式从特殊到一般，符合学生的认知，激发学生的求知欲。

问题4：上述两个方程是圆的方程吗？

222以方程(x-a)+(y-b)=r为例，通过推导，可以发现C上任意一点M(x,y)都满足这个方程；反之，适合这个方程的解为坐标的点M(x,y)，都在C上吗？

设计意图：问题4的提出重在培养学生思维的严谨性，类比直线方程的概念，有意识的让学生体会曲线方程的概念。从纯粹性和完备性两方面的推导，体现了数学的严谨性。不仅授之以“鱼”，而且授之以“渔”．

问题5：两个方程之间有什么关系？圆的标准方程具有哪些特点？

(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）为以点C(a,b)为圆心，半径为r的圆的标准方程

x2y2r2 （r0）为以点C(a,b)为圆心，半径为r 设计意图：问题5渗透建系是用代数方法解决几何问题的关键，同一曲线，在不同的直角

坐标系中会得到不同的曲线方程．通过引导学生归纳圆的标准方程的特点，加深对圆的方程的理解，并为之后求圆的标准方程做好铺垫。

三

直接应用

内化新知

1.

说出下列圆的标准方程的圆心坐标和半径

（1）

(x1)(y3)9

22

(２)

(x+1)2+(y-1)2=1 222

x



(

y



b

)



m

（m0）

a

)



（3）

(设计意图：进一步加深对圆的标准方程的理解，会从圆的圆的标准方程，熟练地说出它的圆心坐标和半径．

2.写出下列圆的方程：

(1) 圆心在点C(3, -4), 半径为3.

(2) 经过原点，圆心在点C(2,-3).

设计意图：让学生再一次明确圆心和半径是确定圆的两要素，求圆的标准方程必须具备三个独立的条件，确定，充分体现教师为主导，学生为主体．

四

例题讲解，形成方法

例1：写出圆心为A(2,-3),半径长为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7),M2(-是否在这个圆上？

设计意图：本题解法体现了坐标法的思想，首先根据圆心坐标和半径写出圆的方程（从形到数）再根据坐标是否满足方程来判断点是否在圆上（从数到形）。在此基础上总结归纳出点和圆的位置关系

归纳规律

点与圆的位置关系：

22点M在圆上⇔|MA|=r⇔(x0-a)+(y0-b)=r；

22点M在圆内⇔|MA|

2222225

,-1)点M在圆外⇔|MA|>r⇔(x0-a)+(y0-b)>r

规律应用，在例1的基础上判断M2在圆内。

例2 :22222ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．

设计意图：用待定系数法确定三个参数a,b,r的值

，规范解题过程，学生独立完成解题过程，锻炼学生的解题能力，并且学会归纳解题方法

五．反馈训练，巩固提高

已知AOB的顶点坐标分别为

A(4,0),B(0,3)，O(0,0)，求

AOB外接圆的方程

设计意图：1.巩固用待定系数法求圆的标准方程，通过求一个直角三角形外接圆的方程。

2.

会利用直角三角形的性质直接写出圆心坐标和半径，为下节课用几何法求圆的方程做好铺垫。

六

课堂小结

布置作业

课堂小结：

作业布置: 1.P120-121 练习1,2,3 2.思考：例2的其他解法

板书设计：

圆的标准方程

板书设计一．定义：CMr

二．圆的标准方程：(xa)(yb)r(r0)

222x2y2r2

圆心（0,0）

例1：

例2：

作业：

三．点与圆的位置关系：

四．方法：（1）待定系数法（2）几何法