探究与发现 组合数的两个性质优秀公开课教案

1.2.2组合数的性质教学设计

广东肇庆中学 周月媚

一、

教材内容及学情分析：

学生已经学习了组合、组合数的定义及组合数公式，本节课的内容就是在此基础上的发展。学生能运用上述内容解决一些实际问题，同时发现如果只有组合数，在计算方面是远远不够的。同时为二项式定理教学做好铺垫。所以需要引入组合数的两个性质。本节具有承上启下的地位，所以采用了从特殊到一般的方法。通过实例引出组合数的两个性质，便于学生理解公式的意义，有利于学生对公式的记忆。

二、教学目标：

1. 知识与技能: ①通过实例，理解组合的概念，并能解决简单的实际问题。②掌握组合数的两个性质；能运用组合的概念理解两个性质。

2.过程与方法:通过推导组合数的两个性质，提高分析问题的能力。 3.情感、态度与价值观：培养学生在组合思想指导下处理有关计数问题的能力，通过对同一问题不同的处理方式的认识，进一步体会多角度思考问题的方法。

三、教学重难点：

教学重点：解决简单组合实际问题，掌握组合数的两个性质；

教学难点：组合数的两个性质的证明。[ 四、教学过程：

（一）复习

1.组合的概念

2.组合与排列的联系与区别

3.组合数公式

(1)C

mnmAnn(n1)(n2)(nm1)mAmm!m(2)Cnn!m!(nm)!

0规定：C1

n

设计意图：通过复习上节课的内容，更好地引入本节知识，做好铺垫作用。

师生活动：学生回答，师生共同完成。

（二）新课

1.有限制条件的组合问题

例1在9件产品中，有6件正品，3件次品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？

(1)恰有1件是次品；(2)至少有1件次品；(3)只有2件正品；(4)次品最多；(5)至多有2件次品. 解：（1）C3C6143432145

65432114（2）法1：分类：①1件次品4件正品，有C3C6②2件件次品3件正品，有C3C6③3件次品2件正品有C3C61故共有45+60+15=120种. 法2：间接法：C9C65532233432145种；

6543213265460种；21321

6515种；

2198765654321266120

543215432123235251423（3）C6（4）C6（5）C9C315；C315；C6111或C6C3C6C3C6111

设计意图：一是通过本例让学生掌握解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法（排除法）”.其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取.而间接法是若正面问题难度大是，可从反面问题入手，特别适合涉及“至多”、“至少”等组合问题.二是通过本例让学生发现直接用组合数公式，计算量较大，为引入组合数两个性质埋下伏笔. 师生活动：（1）（2）教师讲解，（3）～（5）学生完成并个别提问回答. 2.组合数的性质

引例：一个口袋内装有6个不同的白球和1个黑球

①从口袋中取出2个球，共有多少种取法？取出5个呢？

②从口袋中取出3个球，共有多少种取法？

③从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？

④从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

25解：①C721和C721 32②C735 ③C615

3④C620

思考：从引例中可以发现什么结论？怎样解释？

25323发现：C7，C7

C7C6C6设计意图：通过具体例子让学生从计数原理的角度去发现和理解组合数的性质，化抽象为具体，合理地化解了本节的难点.

师生活动：学生通过自行计算发现结论，教师提问个别回答.

mnm组合数的性质：(1)CnCn

mmm1(2)Cn1＝Cn+Cn性质（1）：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，．．．．所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组mnm合数，即：Cn．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

Cnm性质（2）：一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从m1个；不含有a1的组a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

0说明：①规定：由Cn1，可知0mn；

②性质1等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；性质2等式特点：等式左边下标等于右边下标加1，右边下标同，两个上标相差1，最大上标等于左边上标. 师生活动：通过上面的引例，教师口述两个性质的证明过程，并指出性质的公式特点和适用性。并让学生用性质1再去计算例1，发现计算的简洁性，首位呼应. 59872C8C9C8

CCC81007例2：计算（1）（2）x22x4例3(1)已知C12C12，则x的值为（）332A.2 B.6 C.77(2)已知

Cn1

-Cn1 D.2或6

28Cn，则n等于（）

A.14 B.12 C.13 D.15 设计意图：让学生掌握两个组合数性质的应用. 师生活动：例2让学生到黑板板演，例3学生完成后提问. 3.课堂小结

（1）解有限制条件的组合问题的方法；

（2）合理利用组合数的两个性质进行运算. 4.作业

作业本：

1.课本P28的15题

2.红三维P14的9：计算：

489(1)C74C50C90135(2)C5C5C52C5C54C5

nn1(3)Cn1Cn

课后训练题：红三维P13 题型二；P14的4、7、10，题目如下：

1．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？

(1)甲当选且乙不当选；

(2)至少有1女且至多有3男当选．

5

2.不等式Cn55的解集为_____________. x12x3

3.解方程：（1）C13

C13433

4.(1)计算：C10C7A3nnn1n2

（2）求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm．