探究与发现 组合数的两个性质ppt配套的教案及板书设计

组

合

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．

过程：

一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容：

定

义

特

点

相同××

公

式

排

列

组

合

强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．练习一：

m练习1：求证：Cnnm1mm1Cn1．

（本式也可变形为：mCnnCn1）

m4537323练习2：计算：①

C10和C10；

②

C7与C6；③

C11

C11C6

答案：①

120，120

②

20，20

③

792

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）

3．练习二：

⑴

平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵

平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 22答案：⑴C1045

（组合问题）

⑵A1090（排列问题）

二、新授：

mnm1．组合数的

性质1：C

nCn．

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这．．．．mnmn个元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体Cn现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmnm3

此性质作用：当m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化2．示例一：2我们年段将在月底进行一场足球比赛。包括体委在内，班上足球

运动员有14位，你们都没有参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时

一个足球队的上场队员是11人

（1）我们可以形成多少种队员上场方案？

(2)抽出的11人中，包括体委在内的抽法有多少种？

（3）抽出的11人中，不包括体委的抽法有多少种？

m

一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn这1，些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从m1共有Cn个；不含有a1的a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，m组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

mmm1

n3．组合数的

性质2：C．

1＝Cn+Cnmm1

证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

4．示例二：

3456⑴

计算：C7

C7C8C9

nnn1n2⑵

求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

x12x3⑶

解方程：C13

C13

x2x3⑷

解方程：Cx2Cx213Ax3

10

01234012345⑸

计算：C4和C5

C4C4C4C4C5C5C5C5C5012n1n

推广：CnCnCnCnCn2n

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

kkkkkk1

⑴

（讲解）Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

kk1⑵

（练习）CkCkk1Ckk2CkknCnk1

123n⑶

Cn2Cn3CnnCnn01n(CnCnCn)

2

三、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．

四、作业：课外作业：课本习题10.3；课课练课时9