1.3 二项式定理（通用）教学设计案例

1．3．1二项式定理(第一课时) 岢岚中学校 周东霞

三维目标：

知识与技能：（1）掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律. （2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开. 过程与方法: 学生参与并探讨二项式定理的形成过程

情态与价值: 通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解

决数学问题的兴趣和信心,使学生体会到数学内在的和谐对称美。

教学重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程

（2）掌握二项式的系数，字母的幂次，展开式项数的规律。

教学难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

授课类型：新授课

教

具：多媒体

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、

复习引入：

通过预习我们知道二项式定理研究的是

(ab)n

的展开式，我们先看这样两个问题

问题一：(a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题二：(a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项. 3探究1 推导

(ab)

的展开式

从项，系数，两个方面对其探究得: 0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

探究2 仿照上述过程,推导

(ab)

的展开式

(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

00a的系数是C4展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，；112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系2334数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b4的系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

02122（1）(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

34432234432240312233（2）(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

04132223344（3）(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b

0n1n我们猜想：(ab)nCnaCnabnrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

∴(ab)CnaCnab二、讲解新课：

n0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

二项式定理：(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

n这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，

r1.它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr2.Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn13.二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(2x16)．

x解：方法一：直接展开（略）

方法二：化简后展开 (2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx给出三个思考1：展开式的第三项的系数是多少? 2：展开式的第三项的系数是多少? 3：你能否直接求出展开式的第三项?

四、课堂练习：P31练习1,2 五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3. 七、板书设计（略）

八、教学反思：

掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。