3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀说课稿

3．2.2

复数代数形式的乘除运算

忠信中学

数学科组

杨勇灶

预习课本P58～60，思考并完成下列问题

(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？

(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？

[新知初探]

1．复数代数形式的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

分配律

3.共轭复数

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则

(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d. (2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0. 4．复数代数形式的除法法则：

(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0)．

c＋dic2＋d2c2＋d2z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

[点睛]

在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(

) 2(2)若z1，z2∈C，且z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(

) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝(

)

A．1

C．2

答案：B B.2 D.3 3＋i3．已知i是虚数单位，则＝(

) 1－iA．1－2i

C．2＋i

答案：D 4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________. 答案：－1

1

[典例]

计算下列各题．

(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i.

[活学活用]

1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(

) A．2－13i

B．13＋2i 复数代数形式的乘法运算

B．2－i D．1＋2i

C．13－13i

D．－13－2i 解析：选D

(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. 2．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，1)

C．(1，＋∞)

B．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 解析：选B

因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，

a＋1＜0，所以解得a＜－1. 1－a＞0，

3＋i[典例]

(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(

) 1＋i复数代数形式的除法运算

A．1＋2i

B．1－2i C．2＋i

D．2－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(

) A．3＋5i

C．－3＋5i

B．3－5i D．－3－5i 3＋i3＋i1－i4－2i[解析]

(1)＝＝＝2－i. 21＋i1＋i1－i(2)∵z(2－i)＝11＋7i，

11＋7i11＋7i2＋i15＋25i∴z＝＝＝＝3＋5i. 52－i2－i2＋i[答案]

(1)D

(2)A

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

1＋i1－i1(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.

i1－i1＋i

[活学活用]

5i1．在复平面内，复数的对应点位于(

) 2－iA．第一象限

C．第三象限

解析：选B

第二象限．

1＋i4＋3i2．计算：＝________. 2－i1－i1＋i4＋3i1＋7i1＋7i1＋3i解析：法一：＝＝

102－i1－i1－3i＝－2＋i. 法二：＝＝1＋i4＋3i1＋i4＋3i＝

2－i1－i1－i2－iB．第二象限

D．第四象限

5i2＋i5i2＋i5i＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，位于52－i2－i2＋ii4＋3i2＋i－3＋4i2＋i＝

55－10＋5i＝－2＋i. 5答案：－2＋i

共轭复数

[典例]

(1)(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3 i，z·z＝4，则a＝(

) A．1或－1

C．－3

B.7或－7 D.3 zz＝________. (2)已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则[解析]

(1)法一：由题意可知z＝a－3i，

∴z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，

故a＝1或－1. 法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. (2)因为(1＋2i)z＝4＋3i，

4＋3i4＋3i1－2i所以z＝＝＝2－i，

51＋2i2－i2－i23－4i34故z＝2＋i，＝＝＝＝－i. 5555z2＋iz

34[答案]

(1)A

(2)－i 55

处理与共轭复数有关问题的思路

当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．

[活学活用]

1．已知i为虚数单位，若复数z＝A．1

25C.

9解析：选A

依题意，得z＝1＋2i，z的共轭复数为z，则z·z＝(

) 2－iB．－1 25D．－

91＋2i2＋i＝i，

2－i2＋i所以z＝－i，所以z·z＝i·(－i)＝1. 2．若复数z满足|z|－z＝10，则z＝________. 1－2i解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则a2＋b2－a＋bi＝2＋4i，

a2＋b2－a＝2，a＝3，∴∴∴z＝3＋4i. b＝4，b＝4，

答案：3＋4i

层级一

学业水平达标

1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(

) A．6－4i

B．－6－4i C．6＋4i

D．－6＋4i 解析：选D

(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(

) A．－2i

C．－2

解析：选A

∵zi＝1＋i，∴z＝∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 1＋2i23．复数＝(

) 3－4iB．2i D．2 1＋i1＝＋1＝1－i. ii

A．－1

C．－i

B．1 D．i 1＋2i2－3＋4i解析：选A

＝＝－1. 3－4i3－4i4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(

) A．－1 024

C．0

B．1 024 D．512 解析：选C

(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 2＋ai5．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(

) 1＋iA．－4

C．3

解析：选D

B．－3 D．4 2＋ai2＋ai1－ia＋2a－2＝＝＋i＝3＋i，

221＋i1＋i1－i所以a－22＝1，a＋2＝3，2

解得a＝4，故选D. 6．设复数z＝1＋2i，则z2－2z＝________. 解析：∵z＝1＋2i，

∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－3 2－3i7．已知＝－i，则复数z＝________. z2－3i2－3i解析：因为＝－i，所以z＝＝(2－3i)i＝3＋2i. z－i答案：3＋2i a8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________. 1－ia解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，

1－i则a＝(1－bi)(1－i) ＝(1－b)－(1＋b)i，

a＝1－b，∴

0＝1＋b.

a＝2，∴

b＝－1.

∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋－12＝5. 答案：5 9．计算．

－1＋i2＋i1＋2i2＋31－i(1)；(2)；

i32＋i1＋i6＋2＋3i. (3)1－i3－2i－1＋i2＋i－3＋i解：(1)＝＝－1－3i. i3－i1＋2i2＋31－i(2)

2＋i＝＝－3＋4i＋3－3ii＝

2＋i2＋ii2－i12＝＋i. 5551＋i6＋2＋3i

(3)1－i3－2i1＋i26i3－2i＝2＋3－2i

＝i6＋i＝－1＋i. 10．已知z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

22a＋b－3b＝1，则有

－3a＝3，

a＝－1，a＝－1，解得或

b＝0，b＝3.

所以z＝－1或z＝－1＋3i. 层级二

应试能力达标

51．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上－3－i(

)

A．y＝2x

C．y＝|x|

解析：选D

因为B．y＝x＋1

2xD．y＝－2x2－1 5－3＋i53131＝＝－＋i，所以a＝－，b＝，所以2222－3－i－3－i－3＋i13，－，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足，故选D. A2213132．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于(

) 2222A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

1313解析：选A

因为z1＝＋i，z2＝－＋i，

22223131所以z＝－＋i－＋i＋i5＝1＋i，

2222所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A. a＋i3．若a为正实数，i为虚数单位，i＝2，则a＝(

) A．2

C.2

B.3 D．1 a＋ia＋i解析：选B

∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝1＋a2＝2，解得a＝3ii或a＝－3(舍)．

－1＋3i3－2＋i4．计算＋的值是(

) 1＋i61＋2iA．0

C．i

B．1 D．2i －1＋3i3－2＋i1－2i－1＋3i3－2＋4i＋i＋2解析：选D

原式＝＋＝＋＝5[1＋i2]31＋2i1－2i2i313－＋i3221i＋i＝＋i＝＋i＝2i. －i－i－ii5．若复数z＝7＋ai的实部为3，则z的虚部为________．

2－i7＋ai7＋ai2＋i14－a＋7＋2ai14－a7＋2a解析：z＝＝＝＝＋i. 5552－i2－i2＋i14－a由题意知＝3，∴a＝－1，

5∴z＝3＋i，∴z的虚部为1.

答案：1 6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，

22a－b＝3，∴

2ab＝4，

a＝2，a＝－2，解得或

b＝1b＝－1.

∴|z|＝a2＋b2＝5. 答案：5 7．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2bz＝(a＋2z)2. 解：因为z＝1＋i，所以az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i2a＋2b＝a＋4a，22＝(a＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2bz＝(a＋2z)，得a－2b＝4a＋2，

解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.

1＋i3a＋bi8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应的点1－i是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

1＋i2·1＋i解：z＝(a＋bi) 1－i＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①

∵复数0，z，z对应的点构成正三角形，

∴|z－z|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②

又∵z对应的点在第一象限，

∴a＜0，b＜0. a＝－3，由①②得

b＝－1.故所求值为a＝－3，b＝－1.

(时间：

120分钟

满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 7－i1．i是虚数单位，复数＝(

) 3＋iA．2＋i

C．－2＋i

解析：选B

B．2－i D．－2－i 7－i7－i3－i20－10i＝＝＝2－i. 10103＋i－i32．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于(

) －1＋2i2A．第一象限

C．第三象限

解析：选C

因为z＝B．第二象限

D．第四象限

i－3＋4i－4－3ii43＝＝＝－－i，所以z在复252525－3－4i－3－4i－3＋4i平面内所对应的点在第三象限，故选C. 3．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为(

) A．2＋i

C．5＋i

B．2－i D．5－i 解析：选D

因为(z－3)(2－i)＝5，

所以z－3＝52＋i5＝＝2＋i，

2－i2－i2＋i所以z＝5＋i，所以z＝5－i. 2－zz4．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则A．－1－2i

C．－1＋2i

B．－2＋i D．1＋2i 等于(

) 2－z2－－1＋i解析：选C

由题意可得z＝

－1－i＝3－i－1＋i＝－1＋2i，故选C. －1－i－1＋i1－ai(a∈R)的虚部为－3，则|z|＝(

) 1＋i5．已知i为虚数单位，若复数z＝A.10

B．23

C.13

D．5 1－ai1－ai1－i解析：选C

因为z＝1＋i＝1＋i1－i

＝1－a－a＋1i2＝1－a2－a＋12i，

所以－a＋12＝－3，

解得a＝5，所以z＝－2－3i，

所以|z|＝－22＋－32＝13. 6．已知复数z∈R)，zz1＝2＋ai(a2＝1－2i，若1z为纯虚数，则|z21|＝(

) A.2

B.3 C．2

D.5 解析：选D

由于z12＋ai2＋ai1＋2iz＝－2i＝211－2i1＋2i

＝2－2a＋4＋ai5为纯虚数，则a＝1，

则|z1|＝5，故选D. 7．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为(

A．1

B．－1 C．1或－1

D．±1或0 解析：选C

因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，

且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1，故选C. 8．已知复数z＝－12＋32i，则z＋|z|＝(

) A．－12－32i

B．－132＋2i C.1＋3i D.1322

2－2i 解析：选D

因为z＝－132＋2i，

所以z＋|z|＝－132－2i＋

－122＋322＝12－32i. 9．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(

) A．z对应的点在第一象限

B．z一定不为纯虚数

C.z对应的点在实轴的下方

)

D．z一定为实数

解析：选C

∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，

∴z对应的点在实轴的上方．

又∵z与z对应的点关于实轴对称．

∴C项正确．

110．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠3＋iAOB等于(

) πA.

6πC.

3πB.

4πD.

23－i13i解析：选B

∵＝＝－，

3＋i3＋i3－i101031，－，

∴它在复平面上的对应点为B1010而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，

显然AO＝5，BO＝由余弦定理得

AO2＋BO2－AB22cos∠AOB＝＝，

2AO·BO2π∴∠AOB＝.故选B. 411．已知z是复数z的共轭复数，z＋z＋z·z＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(

) A．圆

C．双曲线

B．椭圆

D．抛物线

10410，AB＝. 1010解析：选A

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，

代入z＋z＋z·z＝0，得x＋yi＋x－yi＋x2＋y2＝0，

即x2＋y2＋2x＝0，整理得(x＋1)2＋y2＝1. ∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．

y12．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则x的最大值是(

) A.3

2B.3

3

1C.

2D.3 解析：选D

因为|(x－2)＋yi|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆y心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤≤3. x

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 2－i313．计算：＝________. 1－2i2－i32＋i2＋i1＋2i解析：＝＝

1－2i1－2i1－2i1＋2i2＋2i＋i＋2i23i＝＝＝i. 31－2i2答案：i 14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2. 答案：－2 15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. 解析：∵|a＋bi|＝a2＋b2＝3，

∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3. 答案：3 16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________. 解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，

则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，

化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，

2x＋2x－2b＝0，即

－x－4＝0，

x＝－4，解得

b＝4，

故m＝4i. 答案：4i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝z1求：(1)z1z2；(2). z215－5i15－5i15－5i3－4i解：因为z2＝＝＝

2＋i23＋4i3＋4i3－4i＝25－75i＝1－3i，

2515－5i，

2＋i2所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. z12－3i2－3i1＋3i11＋3i113(2)＝＝＝＝＋i. z21－3i1－3i1＋3i10101018．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？

(1)z是实数.

(2)z是纯虚数．

(3)z对应的点位于复平面的第一象限．

解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，

解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．

由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，

求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．

(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，

解得m＜－2或m＞3，

故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．

19．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i. (1)求复数z；

(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

解：(1)∵(1＋2i)z＝4＋3i，

∴z＝4＋3i4＋3i1－2i10－5i＝＝＝2－i，

51＋2i1＋2i1－2i∴z＝2＋i. (2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，

∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，

24－a＋1>0，∴解得－1

4a＋1>0，

即实数a的取值范围为(－1,1)．

20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－z2|<|z1|，求a的取值范围．

解：因为z1＝－1＋5i＝2＋3i，z2＝a－2－i，z2＝a－2＋i，

1＋i所以|z1－z2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i| ＝4－a2＋4，

又因为|z1|＝13，|z1－z2|<|z1|，

所以4－a2＋4<13，

所以a2－8a＋7<0，解得1

21．(本小题满分12分)设z为复数z的共轭复数，满足|z－z|＝23. (1)若z为纯虚数，求z. (2)若z－z2为实数，求|z|. 解：(1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则z＝－bi，

因为|z－z|＝23，则|2bi|＝23，即|b|＝3，

所以b＝±3，所以z＝±3i. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

因为|z－z|＝23，则|2bi|＝23，即|b|＝3，

因为z－z2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i. z－z2为实数，

所以b＋2ab＝0. 1因为|b|＝3，所以a＝－，

2所以|z|＝

－12＋±32＝13. 2222．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2. (1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，

由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，

所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，

所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，

所以S△ABC＝1.