1.1 回归分析的基本思想及其初步应用第二课时教案

回归分析的基本思想及其初步应用

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报. 二、讲授新课：

1. 教学例题：

①

例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

1

2

3

4

5

6

7

8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理）

70

60

5040

3020

10

0150155160165170175180

身高/cm

第一步：作散点图

第二步：求回归方程

第三步：代值计算

②

提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③

解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的1

体重/kg

一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即SST(yiy)2. i1n残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE(yiyi)2. i1n回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即SSR(yiy)2. i1n4. 教学例题：

例2 关于x与Y有如下数据：

x

2

4

y

30

40

5

60

6

50

8

70 为了对x、现有以下两种线性模型：y6.5x17.5，y7x17，Y两个变量进行统计分析，试比较哪一个模型拟合的效果更好. 分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：R121(yiyi)2(yy)ii1i152511550.845，R2211000(yy)ii52(yy)ii1i15121800.82，84.5%＞82%，所以甲选1000用的模型拟合效果较好.）

5. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏. 一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.

由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）

三、巩固练习：练习：教材P13 第1题

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