3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案教学设计

3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计

第二学时

【学习目标】

1.理解共轭复数的概念. 2.掌握i的运算性质. .

【预习案. 自主学习】

1、共轭复数

（1）如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数.z－－的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi. （2）复数与共轭复数的乘法性质

－zz＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2.

注意事项：

共轭复数的注意点

（1）结构特点：实部相等，虚部互为相反数. （2）几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.

1、

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两个共轭复数的差一定是虚数.（

）

（2）两个共轭复数的和与积是实数.（

）

（3）1iii0.（

）

答案：（1）√

（2）√ （3）√

2、若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝

，y＝

Ｗ. 答案：－1

1

【探究案. 讲练互动】

探究点1

i的运算性质

1＋i2 017例1

（1）等于

. 1－i（2）化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100. 1＋i2 017（1＋i）（1＋i）2 0172i2 0172 017【解】

（1）＝＝2＝i＝（i4）504·i＝1－i（1－i）（1＋i）5041·i＝i.故填i.

（2）设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①

所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②

①－②得

（1－i）S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101

i（1－i100）＝－100i101＝0－100i＝－100i.

1－i－100i－100i（1＋i）所以S＝＝

1－i（1－i）（1＋i）－100（－1＋i）＝＝50－50i.

2所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.

1 23

【方法归纳】

（1）等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，

＋＋＋即in＋in1＋in2＋in3＝0（n∈N*）.

（2）记住以下结果，可提高运算速度.

1－i1＋i1①（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i.

②＝－i，＝i.

③＝－i.

i1＋i1－i④i21,i3i,i41

1－i1.复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（

）

1＋iA.1

B.－1

C.i

D.－i

1－i22解析：选B.z＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 1＋i2＋2i22 0162.计算：（1）；

（2）i＋i2＋…＋i2 017. 2＋（1－i）1＋i2（1＋i）21 008解：（1）原式＝＋2i

－2i＝i（1＋i）＋（－i）1 008

＝i＋i2＋（－1）1 008·i1 008

×＝i－1＋i4252

＝i－1＋1

＝i.

i（1－i2 017）i－i2 018（2）法一：原式＝＝

1－i1－ii－（i4）504·i2i＋1（1＋i）（1＋i）2i＝＝＝＝＝i.

1－i1－i（1－i）（1＋i）2＋＋＋法二：因为in＋in1＋in2＋in3＝in（1＋i＋i2＋i3）＝0（n∈N*），所以原式＝（i＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋…＋（i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016）＋i2 017＝i2 017＝（i4）504·i＝1504·i＝i.

探究点2

共轭复数

例2

（1）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，

则（a＋bi）2＝（

）

A.5－4i

B.5＋4i

C.3－4i

D.3＋4i

（2）把复数z的共轭复数记作z，已知（1＋2i）z＝4＋3i，求z. 【解】

（1）选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，

所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i.

（2）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，

由已知得：（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的定义知，a＋2b＝4，得a＝2，b＝1，

2a－b＝3.所以z＝2＋i.

【方法归纳】

共轭复数性质的巧用

2

－－（1）z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质.

－（2）实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数.

－（3）若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数.

－z1.若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（

）

1－iA.1－i

B.1＋I

C.－1－i

D.－1＋i －解析：选A.由题意z＝i（1－i）＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.

－－－2.已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. －解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi（a，b∈R），

由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，

22a＋b－3b＝1，22即a＋b－3b－3ai＝1＋3i，则有

－3a＝3，a＝－1，a＝－1，解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i. b＝0b＝3.

【当堂检测】

21.复数z＝i（1＋i）（i为虚数单位）的共轭复数是（

）

A.－2

B.2

C.2i

D.－2i －解析：选A.因为z＝i（1＋i）2＝i（1＋2i＋i2）＝i·2i＝－2，所以z＝－2.

2.计算：（1＋i）2 016；

解：原式＝[（1＋i）2]1 008＝（1＋2i＋i2）1 008＝（2i）1 008＝21 008·i1 008＝21 008·（i2）504＝21 008.

－z3、把复数z的共轭复数记作z，（1＋2i）z＝4＋3i，求. z解：设z＝x＋yi（x，y∈R），

则（1＋2i）（x＋yi）＝4＋3i，

－x－2y＝4，x＝2，z2＋i34得解得所以z＝2－i.

所以＝＝＋i. z2－i552x＋y＝3，y＝－1，

【课堂知识小结】

知识结构

深化拓展

1.复数常见运算小结论

2i（1）（1＋i）2＝2i⇔＝1＋i. 1＋i－2i2i（2）（1－i）2＝－2i⇔＝1－i⇔＝－1＋i. 1－i1－i22（1＋i）（1－i）＝2⇔＝1－i⇔＝1＋i.

（3）1＋i1－i

3

1＋i1－i（4）＝i⇔＝－i. 1－i1＋i＋＋＋（5）i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，i4n＝1（n∈Z）.

i21,i3i,i41

2.常用公式

（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2；（a±bi）2＝a2－b2±2abi；

【应用案.

巩固提升】

3＋2i1.设复数z＝，则z的共轭复数为（

）

2－3iA.1

B.－1

C.i

D.－i 3＋2i2－3i解析：选D.z＝＝·i＝i，于是z的共轭复数为－i. 2－3i2－3i－－2.若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝（

）

A.1±3i

B.3±I

C.3＋i

D.3－i 解析：选B.设z＝a＋bi（a，b∈R），

－则z＝a－bi，

2a＝6，所以2

2a＋b＝10，解得a＝3，b＝±1，

则z＝3±i. 1＋2i－－3.已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为z，则z·z＝

. 2－i（1＋2i）（2＋i）－－解析：依题意，得z＝＝i，所以z＝－i，所以z·z＝i·（－i）＝1.

（2－i）（2＋i）答案：1

4