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离散型随机变量的分布列、均值与方差

突破点一

离散型随机变量的分布列

[基本知识]

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X P

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝1. i＝1nx1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

3．常见的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布

X P 0

1－p 1 p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝nkCkMCN－M，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. nCN－X P

0

n0C0MCN－M

CnN－1

n1C1MCN－M

CnN－…

…

m

nmCmMCN－M

nCN－如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(

) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(

) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(

) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(

) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√

二、填空题

1．设随机变量X的分布列如下：

X P 则p为________．

1答案：

42．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝1答案：

33．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．

答案：0,1,2,3 突破点二

离散型随机变量的均值与方差

[基本知识]

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

i(i＝1,2,3)则P(X＝2)＝________. 2a1

1

122

1

63

1

34

1

65 p

(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)i＝1n的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(

) (3)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

二、填空题

11．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则E(3X＋5)＝________. 3答案：11 2．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为________．

解析：X的分布列为：

X P 1

1

42

1

43

1

44 1

411115∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 444425答案：

213．随机变量X的可能取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 5解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，

由题意得15＋p＋q＝1，2答案：

510×＋p＋2q＝1，5

31解得p＝，q＝，

551312∴D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 5555