1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第一课时导学案

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（1）

教材分析

本节内容是数学选修2-3 第三章

统计案例

的第二节，是在学习了回归分析的基本思想及其初步应用的知识后，对统计案例的再学习．可以看作是与前面学习过的相关关系的并列知识，是统计案例的另一类体现.在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.在讨论两个分类变量关系时，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，使学生初步掌握独立性检验的基本步骤，体会独立性检验的基本思想.独立性检验的步骤是相对固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成书后的习题，但独立性检验的统计思想对学生来说是比较难理解的，所以在教学中结合例题介绍独立性检验的思想是十分重要的，要求特别注重学生思维的严密性品质的培养. 课时分配

本节内容用3课时完成，这是第1节，主要讲解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学目标

重点: 理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

难点：了解独立性检验的基本思想；了解随机变量K2的含义．

知识点：独立性检验的解题步骤. 能力点：正确理解独立性检验的基本思想. 教育点：通过大量的实例，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何利用求出的数据正确解读分类变量的关系. 考试点：独立性检验的解题步骤. 易错易混点：反证法和独立性检验的区别. 拓展点：完成思考的解答后，引导学生总结独立性检验的基本思想. 教具准备 多媒体课件、三角板

课堂模式 学案导学

一、引入新课

【师生活动】

师：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表1 吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响？

生：讨论回答. 师：要想解决这个问题，这就需要了解假设检验的基本原理. 我们这节课就来学习一种假设检验——独立性检验的基本思想及其初步应用. 【设计意图】通过实例，引出独立性检验的原理，假设检验.既激发了学生的学习热情，又让学生体会到学习数学的实用性.

1

二、探究新知

1、分类变量：对于性别变量，其取值为男和女两种. 这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，产品等级，是否喜欢数学，等等. 2、列联表：像表1这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表. 师：从表格中的数据能反映出两个分类变量间是否相互影响？

生：不是很明显. 师：图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征. 【设计意图】通过问题来引导学生明确：等高条形图可以直观反映出两个分类变量间是否相互影响,过渡自然，顺理成章. 3、等高条形图

图1 【师生活动】

师：图1就是一个等高条形图，其中两个浅色条的高分别表示吸烟和不吸烟样本中不患肺癌的频率；两个深色条的高分别表示吸烟和不吸烟样本中患肺癌的频率.我们能有什么结论？

生：在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌. 【设计意图】通过提问，要学生明确后续知识学习的必要性，对引出下一个问题起到很好的铺垫. 4、独立性检验

我们先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系，

把表1中的数字用字母代替，得到表2 表2

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

a

患肺癌

总计

c

ac

b

d

bd

ab

cd

abcd

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量

n(adbc)2，

K(ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量.

2

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小 .根据表1的数据，计算得K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632. 78172148987491统计学家经过研究发现，在H0成立的情况下，P(K26.635)0.010 . 即在H0成立的情况下，K的观测值大于6.635的概率非常小，近似为0.010，是一个小概率事件.现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”. 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.010. 上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量”的方法称为独立性检验. 【设计意图】通过吸烟与患肺癌之间的关系的讨论过程体现了假设检验的思想，其目的是让学生通过实例初步体会一下假设检验的思想. 可以从反证法的思想解释上面介绍的假设检验原理. 表3 反证法

要证明结论A

在A不成立的前提下进行推理

推出矛盾，意味着结论A成立

备择假设H1

在H1不成立，即H0成立的条件下进行推理

推出有利于H1成立的小概率事件发生，意味着H1成立的可能性很大

没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功

推出有利于H1成立的小概率事件不发生，没有足够的证据表明H1成立

5、独立性检验的具体步骤

（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的上界，然后查表确定临界值k0. （2）利用公式（1），计算随机变量K的观测值k. （3）如果kk0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“两个分类变量有关系”，或者在样本数据中，没有足够证据支持结论“两个分类变量有关系”. 【设计意图】在介绍完独立性检验的思想以后，对独立性检验的具体实施步骤进行总结、归纳.为学生的下一步应用起到奠基的作用,对解决下面的例题有很大的帮助. 2222独立性检验

三、理解新知

判断两个分类变量有关系的思路 1、等高条形图可以直观地判断出两个分类变量是否有关系，但是这种判断不可靠, 并且不能提供所得结论犯错误的概率.因此需要用独立性检验的方法来提供有用数据.

3

2、独立性检验的具体步骤

（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的上界，然后查表确定临界值k0. （2）利用公式（1），计算随机变量K的观测值k. （3）如果kk0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“两个分类变量有关系”，或者在样本数据中，没有足够证据支持结论“两个分类变量有关系”. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力. 2四、运用新知

例1、某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶.利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系.能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系? 解

：根据题目所给数据得到如下列联表：

表4 秃顶与患心脏病列联表

不吸烟

吸烟

总计

患心脏病

214 451 665 患其他病

175 597 772 总计

389 1048 1473

图2 相应的等高条形图如图2所示，可以看出秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶样本中患心脏病的频率.因此可以认为秃顶与患心脏病有关系. 根据列联表4中的数据，得到

21437（214597-175451）k=16.3736.635. 3891048665772因此，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系.

【设计说明】教学中要先直观后计算，要注意引导学生运用已经学过的统计知识解决问题．解答中给出列联表，目的是复习列联表的制作.讲完例题解答后，需要向学生说明：在熟悉独立检验的基本原理后，可以通过直接计算K的观测值（不画等高条形图）来解决两个分类变量的独立性检验问题.但是，借助于图形可

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以更直观地向专业人士解释所得到的统计分析结果. 变式训练：

在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个22的列联表；

（2）判断性别与休闲方式是否有关系.

答案：（1）

女

男

总计

看电视

43 21 64 运动

27 33 60 总计

70 54 124 （2）因为k6.2015.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为休闲方式与性别有关系. 五、课堂小结 独立性检验的具体步骤

（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的上界，然后查表确定临界值k0. （2）利用公式（1），计算随机变量K的观测值k. （3）如果kk0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“两个分类变量有关系”，或者在样本数据中，没有足够证据支持结论“两个分类变量有关系”. 【设计意图】增强学生的归纳概括意识，培养学生整体看待问题的能力．通过课堂小结，加深学生对本节课所学内容的印象. 2六、布置作业 1．阅读教材 P91—94；

2.书面作业 教材P97 1 、2 必做题：1. 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现对该心理测中的最后一个题目的反应得以下数据：

性别

肯定

否定

总计

男生

22 88 110

女生

18 42 60

总计

40 130 170

问：性别与态度之间是否存在某种关系？

2. 在研究某种新措施对“非典”的防治效果问题时，得以下数据：

存活数

死亡数

合计

新措施

132 18 150

原措施

114 36 150

合计

246 54 300

试问新措施对防治防治“非典”是否有效？

5

170(22421888)2答案：1. K2.1583.841， 1106040130因此没有充分的证据显示“性别与态度有关” . 2300(1323611418)22. K7.3176.635，

24654150150故在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“新措施对防治非典有效” . 2选做题：某企业有两个分工厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位:mm）的值落在

29.94,30.06的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

甲厂：

分组

29.86,29.90

29.90,29.94

29.94,29.98

29.98,30.02

30.02,30.06

30.06,30.10

30.10,30.14

频数

乙厂：

分组

频数

12 63 86 182 92 61 4 29.86,29.90

29.90,29.94

29.94,29.98

29.98,30.02

30.02,30.06

30.06,30.10

30.10,30.14

29 71 85 159 76 62 18 （1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据填写下面的22列联表，并问是否有99﹪的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

优质品

非优质品

总计

甲厂

乙厂

总计

【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够根据独立性检验的思想，算出随机变量K的观测值来解决简单的数学问题；并注意巩固独立性检验的步骤.选做题是2009辽宁文科高考题，本题涉及到统计的多个知识点，可以说是一个综合题，在统计这一模块中的高考题不是太多，一方面让学生了解一下题型，另一方面引起学生对统计知识的重视．

2七、教后反思

本教案通过实例引入，在教学中，向学生介绍多个知识点；分类变量、列联表、等高条形图、独立性检验、独立性检验的步骤．在例1的教学中，要注重强调独立性检验的的重要性，要求学生会解释这里“犯错误的概率”，提高了学生的解题能力．

八、板书设计

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（1）

引例：

例１：

1、分类变量

2、列联表

3、等高条形图

变式：

4、独立性检验

5、独立性检验的步骤

小结

6