二 一般形式的柯西不等式ppt配套的教案及板书设计

3.2一般形式的柯西不等式

【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】

一般形式的柯西不等式

学做思一：

自学探究

问题1：推导柯西不等式的代数形式: 设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

学做思二

问题2：推导柯西不等式的向量形式: 设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

问题3：推导三角形不等式: 设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|

思考: 根据对比二维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

问题4：讨论一般形式的柯西不等式：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：(a12a22n2nan2)(b12b222n2bn2)(a1b1a2b2anbn)

bnb1b2aibi(aibi)aaan时成立（当i1i12即:i1，其中等号当且仅当1ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

2229【例1】

设a，b，c为正数且互不相等，求证：＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c2a1＋a2＋a32a2a2a312【变式1】

已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数．求证：＋＋≥

b1b2b3b1＋b2＋b3

题型二

利用三维柯西不等式求函数的最值

【例2】

已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．

222【变式2】

已知x＋4y＋3z＝2，求x＋y＋z的最小值．

题型三

一般形式柯西不等式的应用

a2a2a212n【例3】

设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1

1【变式3】

已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2≥. 4

方法技巧

利用柯西不等式求最值

18【示例1】

已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最大值

17

方法技巧

利用柯西不等式求最值

18【示例1】

已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最大值

17

变式反馈

一、选择题

1111．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则a＋b＋c的最小值为

A．9

C.3

B．3

D．1 (

)．

222222．已知a21＋a2＋…＋an＝1，x1＋x2＋…＋xn＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为

A．1

C.n

B．n

D．2 (

)．

abcbca3．已知a，b，c为正数，则b＋c＋aa＋b＋c有

A．最大值9

C．最大值3

二、填空题

B．最小值9 D．最小值3 (

)．

4．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．

5．设a，b∈R＋，则

a＋b与a＋b的大小关系是________．

2

变式反馈

一、选择题

1111．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则a＋b＋c的最小值为

A．9

C.3

B．3

D．1 (

)．

222222．已知a21＋a2＋…＋an＝1，x1＋x2＋…＋xn＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为

A．1

C.n

B．n

D．2 (

)．

abcbca3．已知a，b，c为正数，则b＋c＋aa＋b＋c有

A．最大值9

C．最大值3

二、填空题

B．最小值9 D．最小值3 (

)．

4．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．

5．设a，b∈R＋，则三、解答题

6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．

2a1＋a2＋a32a2a2a312【变式1】

已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数．求证：＋＋≥

b1b2b3b1＋b2＋b3a＋b与a＋b的大小关系是________．

2

题型二

利用三维柯西不等式求函数的最值

【例2】

已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．

222【变式2】

已知x＋4y＋3z＝2，求x＋y＋z的最小值．

题型三

一般形式柯西不等式的应用

a2a2a212n【例3】

设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1

1【变式3】

已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2≥. 4

三、解答题

6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．

7．设a1>a2>…>an>an＋1，求证：

1111＋＋…＋＋>0. a1－a2a2－a3an－an＋1an＋1－a1

8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．