2.基本不等式课堂实录【3】

1.1.2 基本不等式

一、核心素养目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想和抽象的数学素养；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想，培养直观想象的数学素养；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，增强数据分析的数学素养. 二、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式)．

三、教学难点

掌握用基本不等式求一些函数的最值

四、教学过程

1.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的

和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab。

2．得到结论：定理1：如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

设计意图:

充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。三个问题的设置引导学生逐步探索，最终通过自己的发现而得到重要不等式，并且明确等号成立时的情形。分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。

接着提出问题：当a,b为任意实数时，ab2ab成立吗?若成立，请给出证明. 设计意图:让学生利用前面学过的比较法结合初中学***方公式给出代数证明。让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab22ab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，

ab(a>0,b>0)

2ab

2）从不等式的性质推导基本不等式ab

2通常我们把上式写作：ab用分析法证明：

要证 abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

2

3）理解基本不等式abab的几何意义

2设计意图:让学生亲自完成代换过程，亲身体验知识的生成过程，既在无形中渗透了代换的思想，又拓展了学生的思维。

通过代换得到ab2ab后，强调常写成abab种形式，为后面两个概念埋2下伏笔，继而引导学生挖掘该式适用的范围及等号成立的条件。

探究：

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为2ab的几2ababab，其中当且仅当点C与，显然，它大于或等于CD，即22ab几何意义是“半径不小于半弦”

2圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式abababa,bR得到结论：定理2：如果, 那么2（当且仅当ab时, 等号成立）.

评述：1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 9例1 (1)已知x>0，求f(x)＝x＋的最小值；

x(2)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；

1(3)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值．

2【自主解答】

(1)∵x>0，∴由基本不等式可得

9f(x)＝x＋≥2x99x·＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，f(x)取到最小值6；

xx(2)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a>0，b>0，

因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，

当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20. (3)∵m，n>0且m＋n＝16，

m＋n16所以由基本不等式可得mn≤()2＝()2＝64，

22当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64. 1∴mn的最大值为32. 2

当a>0，b>0时，

p2a＋b1．若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式ab≤42求得．

2．若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意等号取得的条件．

巩固练习：

xy1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34解析：因为x＞0，y＞0，

xy所以＋≥234答案：3 x22．函数y＝(x≠0)有最大值________，此时x＝________. x4＋9解析：∵x≠0，∴x2>0. x21∴y＝＝≤x4＋99x2＋x221＝，

96x2·x21xy·＝

34xy，即

3xy≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3. 39当且仅当x2＝，即x4＝9，x＝±3时取等号，

x2

1即当x＝±3时，ymax＝. 61答案：

±3 6五.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

ab2a2b2ab≤，ab≤（）. 22六.课后作业：课本第10页习题的第13题